hypergraph learning(超图学习)

最近在研究graph learning，自然在接触到前沿的，自然学习到了超图学习。特在此做下记录：
hypergraph learning的主要论文来自：
Learning with Hypergraphs: Clustering, Classification, and Embedding
Learning Hypergraph-regularized Attribute Predictors
在说超图之前，希望先交待一下我们使用graph是出于怎样的考虑。我们只知道general graph的边是连接两点之前的一条边。那么，利用general graph更关心的是样本点与样本点之间的关系，是pairwise之间的关系。但是，在实际生活中，以及再做图像识别的领域中，我们需要关系的不仅仅是两点之间的关系，可能更要关心的是一个样本点与其他一类样本点之间的关系。这种复杂的关系是general graph所无法描绘出来的。更常见的例子，就是在论文发表的过程中，一篇论文如果只有一个作者，那我们则可以使用general graph来进行描述。但是当一篇论文如果有多个作者的时候，描述科研人员之间的合作关系的时候，使用general graph就有些力不从心。这时候，我们就可以使用超图这描述这样的关系，关于hypergraph 和graph有什么区别和联系，这里我上一张图来进行描述：

左边的表说明的是点与边之间的关系。中间的图说明的是general graph，右边的图是我们的hypergraph（每一个圈圈住的点的集合就是我们的hyperedge）。可以看出hypergraph强调的更多是集合的概念，一个hyperedge更多说明的是许多点的集合， 我们的general graph的edge说明的是两点之间的关系。在图像识别中，我们就可以认为图像的每一个属性都是一个hyperedge，hyperedge重叠的部分就是图像相同的属性，重叠部分越多说明两个sample 是同一类的可能性越大。
既然有了hypergraph，我们就要重新定义一些有关图的东西:

δ(e)

表示每一个hyperedge中的包含的顶点个数。
接下来就是，hyperedge的边权如何定义，我们利用heat kernel 来计算hyperedge集合中点与点之间的距离，然后求一个平均，得到的就是这个hyperedge的边权，公式如下：

使用我们的hypergraph可以尽可能的描述样本点与整个样本数据的属性关系，只能当属性（超边）重叠多的时候才可以说明两个样本是属于通一类，它避免了只比较两个数据样本相似性的缺陷。

hypergraph的梗概部分完了，接下来我们来说说hypergraph learning

Hypergraph Learning

Hypergraph Learning。因为是Learning，我们自然要定义我们的loss function，根据我们做Normalized Cut的目标函数：让同类的的相关性尽可能大，不同类的相关性尽可能小。延伸到我们的hypergraph，便变成了我们的目标函数要尽可能的保持超边（样本的属性）关系。于是，就有了下面的目标函数：


求解得到如下的答案：