【集合论】偏序关系 ( 偏序关系定义 | 偏序集定义 | 大于等于关系 | 小于等于关系 | 整除关系 | 包含关系 | 加细关系 )

一. 偏序关系

1. 偏序关系定义

( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )

偏序关系 定义 :

• 1.前置条件 1 : $A̸=\varnothing$ , 并且 $R\subseteq A\times A$ ;

• 2.前置条件 2 : 如果 $R$ 是 自反 , 反对称 , 传递的 ;

  • ① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 , $xRx$ ;
  • ② 反对称 : 如果 $xRy$ 并且 $yRx$ 则 $x=y$ , 即 $x̸=y$ , $xRy$ 和 $yRx$ 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
  • ③ 传递 : 如果 有 $xRy$ , $yRz$ , 那么必须有 $xRz$ , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;

• 3.结论 : 称 $R$ 为 $A$ 上的偏序关系 ;

• 4.表示 : 使用 $⪯$ 表示偏序关系 ;

• 5.读法 : $⪯$ 读作 "小于等于" ;

• 6.使用公式表示 :
  $$<x,y>\in R⟺xRy⟺x⪯y$$

• 7.公式解读 : 如果 $x$ , $y$ 两个元素 构成 有序对 $<x,y>$ , 并且在偏序关系$R$ 中 , $x$ 和 $y$ 具有 $R$ 关系 , 也可以写成 $x$ 小于等于 ( 偏序符号 ) $y$ ;

• 8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 非 $0$ 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;

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( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )

偏序关系 与 等价关系 :

• 1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示 层次结构 ;
• 2.等价关系 : 等价关系 是 用来分类的 , 将一个 集合 分为 几个等价类 ;
• 3.偏序关系 : 偏序关系 通常是 用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,

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2. 偏序集定义

( 1 ) 偏序集定义

偏序集 定义 :

• 1.前置条件 1 : $⪯$ 是 $A$ 上的 偏序关系 ;
• 2.结论 : $<A,⪯>$ 是偏序集 ;
• 3.解读 : 集合 $A$ 与 偏序关系 $⪯$ 构成的有序对 , 称为 偏序集 ;

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二. 偏序关系 示例

1. 小于等于关系

( 1 ) 小于等于关系 说明

偏序集示例 1 ( 小于等于关系 $\le$ 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : $$\varnothing ̸=A\subseteq R,<A,\le >$$
• 2.语言描述 : 如果 $A$ 是 实数集 $R$ 的 子集 , 并且 $A$ 不能 是 空集 $\varnothing$ , 集合 $A$ 中的 小于等于关系 , 是偏序关系 ;
• 3.使用集合形式表示关系 : $$\le =\{<x,y>|x,y\in A\wedge x\le y\}$$

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( 2 ) 小于等于关系 分析

实数集 $A$ 上的 小于等于关系 ( $\le$ ) 分析 :

• 1.自反性质分析 : $x$ 小于等于 $x$ , $x\le x$ , 是成立的 , 小于等于关系 是 自反的 ;
• 2.反对称性质分析 : $x$ 小于等于 $y$ , $y$ 小于等于 $x$ , 推出 $x=y$ , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 小于等于 关系 是 反对称的 ,
• 3.传递性质分析 : $x$ 小于等于 $y$ , $y$ 小于等于 $z$ , $x$ 小于等于 $z$ , 是成立的 , 因此 小于等于关系 是 传递的 ;
• 4.总结 : 综上所述 , 小于等于 关系 是 偏序关系 ;

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2. 大于等于关系

( 1 ) 大于等于关系 说明

偏序集示例 2 ( 大于等于关系 $\ge$ 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : $$\varnothing ̸=A\subseteq R,<A,\ge >$$
• 2.语言描述 : 如果 $A$ 是 实数集 $R$ 的 子集 , 并且 $A$ 不能 是 空集 $\varnothing$ , 集合 $A$ 中的 大于等于关系 ( $\ge$ ) , 是偏序关系 ;
• 3.使用集合形式表示关系 : $$\ge =\{<x,y>|x,y\in A\wedge x\ge y\}$$

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( 2 ) 大于等于关系 分析

实数集 $A$ 上的 大于等于关系 ( $\ge$ ) 分析 :

• 1.自反性质分析 : $x$ 大于等于 $x$ , $x\ge x$ , 是成立的 , 大于等于关系 是 自反的 ;
• 2.反对称性质分析 : $x$ 大于等于 $y$ , $y$ 大于等于 $x$ , 推出 $x=y$ , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 大于等于 关系 是 反对称的 ,
• 3.传递性质分析 : $x$ 大于等于 $y$ , $y$ 大于等于 $z$ , $x$ 大于等于 $z$ , 是成立的 , 因此 大于等于关系 是 传递的 ;
• 4.总结 : 综上所述 , 大于等于 关系 是 偏序关系 ;

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3. 整除关系

( 1 ) 整除关系 说明

偏序集示例 3 ( 整除关系 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : $$\varnothing ̸=A\subseteq Z_{+}=\{x|x\in Z\wedge x>0\}<A,|>$$
• 2.语言描述 : 如果 $A$ 是 正整数集 $Z_{+}$ 的 子集 , 并且 $A$ 不能 是 空集 $\varnothing$ , 集合 $A$ 中的 整除关系 ( $|$ ) , 是偏序关系 ;
• 3.使用集合形式表示关系 : $$|=\{<x,y>|x,y\in A\wedge x|y\}$$
• 4.整除关系 : $x|y$ , $x$ 是 $y$ 的因子 , 或 $y$ 是 $x$ 的倍数 ;

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( 2 ) 整除关系 分析

正整数集 $A$ 上的 整除关系 ( $|$ ) 分析 :

• 1.自反性质分析 : $x$ 整除 $x$ , $x|x$ , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是 自反的 ;
• 2.反对称性质分析 : $x$ 整除 $y$ , $y$ 整除 $x$ , 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出 $x=y$ , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 整除 关系 是 反对称的 ,
• 3.传递性质分析 : $x$ 整除 $y$ , $y$ 整除 $z$ , $x$ 整除 $z$ , 是成立的 , 因此 整除关系 是 传递的 ;
• 4.总结 : 综上所述 , 整除 关系 是 偏序关系 ;

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4. 包含关系

( 1 ) 包含关系 说明

偏序集示例 4 ( 包含关系 $\subseteq$ 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : $$\mathcal{A}\subseteq P(A),\subseteq =\{<x,y>|x,y\in \mathcal{A}\wedge x\subseteq y\}$$
• 2.语言描述 : 集合 $A$ 上的幂集合 $P(A)$ , $P(A)$ 的子集合 构成 集族 $\mathcal{A}$ , 该集族 $\mathcal{A}$ 上的包含关系 , 是偏序关系 ;

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( 2 ) 包含关系 分析

分析 集合的 子集族 之间的包含关系 :

① 假设一个比较简单的集合

$$A=\{a,b\}$$

② 分析 下面 $A$ 的 3 个子集族 ;

$${\mathcal{A}}_1=\{\varnothing ,\{a\},\{b\}\}$$

集族 ${\mathcal{A}}_1$ 包含 空集 $\varnothing$ , 单元集 $\{a\}$ , 单元集 $\{b\}$ ;

$${\mathcal{A}}_2=\{\{a\},\{a,b\}\}$$

集族 ${\mathcal{A}}_2$ 包含 单元集 $\{a\}$ , 2 元集 $\{a,b\}$ ;

$${\mathcal{A}}_3=P(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$$

集族 ${\mathcal{A}}_3$ 包含 空集 $\varnothing$ , 单元集 $\{a\}$ , 单元集 $\{b\}$ , 2 元集 $\{a,b\}$ ; 这是 集合 $A$ 的 幂集 ;

③ 列举出集族 ${\mathcal{A}}_1$ 上的包含关系 :

$${\subseteq }_1=I_{\mathcal{A}1}\cup \{<\varnothing ,\{a\}>,<\varnothing ,\{b\}>\}$$

${\subseteq }_1$ 是集合 $\mathcal{A}1$ 上的偏序关系 ;

即 分析 空集 $\varnothing$ , 单元集 $\{a\}$ , 单元集 $\{b\}$ 三个 集合之间的包含关系 :

• 1.恒等关系 $I_{\mathcal{A}1}$ : $<\{a\},\{a\}>和<\{b\},\{b\}>$ , 集合上的恒等关系 , 每个集合 肯定 自己包含自己 ;
• 2.$<\varnothing ,\{a\}>$ : 空集 肯定 包含于 集合 $\{a\}$ ;
• 3.$<\varnothing ,\{b\}>$ : 空集 肯定 包含于 集合 $\{b\}$ ;
• 4.总结 : 这些包含关系 的性质分析 :
  • ① 自反 : 每个元素自己 包含 自己 , $A\subseteq A$ , 包含关系具有 自反性质 ;
  • ② 反对称 : 如果 集合 $A\subseteq B$ , $B\subseteq A$ , 那么 $A=B$ , 显然 包含关系 具有反对称性质 ;
  • ③ 传递 : 如果 $A\subseteq B$ , 并且 $A\subseteq C$ , 那么有 $A\subseteq C$ , 包含关系 具有传递性质 ;

④ 列举出集族 ${\mathcal{A}}_2$ 上的包含关系 :

$${\subseteq }_2=I_{\mathcal{A}2}\cup \{<\{a\},\{a,b\}>$$

${\subseteq }_2$ 是集合 $\mathcal{A}2$ 上的偏序关系 ;

⑤ 列举出集族 ${\mathcal{A}}_3$ 上的包含关系 :

$${\subseteq }_3=I_{\mathcal{A}3}\cup \{<\varnothing ,\{a\}>,<\varnothing ,\{b\}>,<\varnothing ,\{a,b\}>,<\{a\},\{a,b\}>,<\{b\},\{a,b\}>\}$$

${\subseteq }_3$ 是集合 ${\mathcal{A}}_3$ 上的偏序关系 ;

5. 加细关系

( 1 ) 加细关系 说明

偏序集示例 5 ( 加细关系 ${⪯}_{加细}$ 是 偏序关系 ) :

• 1.加细关系描述 : $A̸=\varnothing$ , $\pi$ 是 由 $A$ 的 一些划分 组成的集合 ;

$${⪯}_{加细}=\{<x,y>|x,y\in \pi \wedge x是y的加细\}$$

• 2.划分 : 划分 是 一个 集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合 又叫 划分快 , 其中 每个元素(集族中的元素)集合 中的 元素 是 非空集合 $A$ 的元素 ;
  • ① 该集族不包含空集 ;
  • ② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
  • ③ 该集族中 所有 元素 取并集 , 得到 集合 $A$ ;

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( 2 ) 加细关系 分析

分析 集合的 划分之间 的 加细 关系 :

① 集合 $A=\{a,b,c\}$ , 下面的 划分 和 加细 都基于 该 集合 进行分析 ;

② 下面 列出集合 $A$ 的 5 个划分 :

划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;
$${\mathcal{A}}_1=\{\{a,b,c\}\}$$

划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
$${\mathcal{A}}_2=\{\{a\},\{b,c\}\}$$

划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
$${\mathcal{A}}_3=\{\{b\},\{a,c\}\}$$

划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
$${\mathcal{A}}_4=\{\{c\},\{a,b\}\}$$

划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类
$${\mathcal{A}}_5=\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$$

③ 下面 列出要分析的几个由划分组成的集合 :

集合 1 :
$${\pi }_1=\{{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2\}$$

集合 2 :
$${\pi }_2=\{{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_3\}$$

集合 3 :
$${\pi }_3=\{{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_4,{\mathcal{A}}_5\}$$

④ 集合 ${\pi }_1$ 上的加细关系分析 :

• 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 $I_{\pi 1}$ , $<{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_2>$ ;
• 2.其它加细关系 : ${\mathcal{A}}_2$ 划分中的 每个划分块 , 都是 ${\mathcal{A}}_1$ 划分 中块 的某个划分块的子集合 , 因此有 ${\mathcal{A}}_2$ 是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 , 记做 $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_1>$ ;
• 3.加细的定义 : ${\mathcal{A}}_1$ 和 ${\mathcal{A}}_2$ 都是集合 $A$ 的划分, ${\mathcal{A}}_2$ 中的 每个划分块 , 都含于 ${\mathcal{A}}_1$ 中的某个划分块中 , 则称 ${\mathcal{A}}_2$ 是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 ;

- 4.加细关系列举 :
$${⪯}_1=I_{\pi 1}\cup \{<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_1>\}$$

⑤ 集合 ${\pi }_2$ 上的加细关系分析 :

• 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 $I_{\pi 2}$ , $<{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_3>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_2>$ ;
• 2.其它加细关系 : ${\mathcal{A}}_2$ 和 ${\mathcal{A}}_3$ 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

- 4.加细关系列举 :
$${⪯}_2=I_{\pi 2}$$

⑥ 集合 ${\pi }_3$ 上的加细关系分析 :

• 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 $I_{\pi 3}$ , $<{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_2>$, $<{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_3>$, $<{\mathcal{A}}_4,{\mathcal{A}}_4>$, $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_5>$ ;
• 2.其它加细关系 :
  • ① 与 ${\mathcal{A}}_5$ 划分相关的加细 : ${\mathcal{A}}_5$ 是划分最细的 等价关系 , ${\mathcal{A}}_5$ 是其它所有 划分 的加细 , 因此有 $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_4>$ , $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_3>$ , $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_2>$ , $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_1>$ ;
  • ② 与 ${\mathcal{A}}_1$ 划分相关的加细 : ${\mathcal{A}}_1$ 是划分最粗的 等价关系 , 所有的划分 都是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 , 因此有 $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_4,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_1>$ ;
• 4.加细关系列举 :

$${⪯}_3=I_{\pi 3}\cup \{<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_4>,<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_3>,<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_2>,<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_1>,<{\mathcal{A}}_4,{\mathcal{A}}_1>,<{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_1>,<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_1>\}$$

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