【离散数学】等价关系与等价类，相容关系和偏序关系举例

目录

 

集合中的三种关系

等价关系举例

相容关系举例

偏序关系举例

等价类的定义

等价关系与等价类的例题

商集的定义

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集合中的三种关系

等价关系：设R为定义在集合A上的关系，若R是自反的，对称的，传递的，则R称为等价关系

相容关系：设R为定义在集合A上的关系，若R是自反的和对称的，则R称为等价关系

序关系（偏序关系）：设A是一个集合，若A上的关系R是自反的，反对称的，传递的，则R是A上的偏序关系

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等价关系举例

等价关系可以简单理解成我们实数集上的等于关系，等于关系应该算等价关系的子集。

当然，离散数学中也对等价关系做了抽象，比如实数集上的同余模k关系。

再抽象一点，比如通信基站之间的通信关系，通信基站A可以和自己通信（类似于我们在调试的时候在地址栏输入localhost回环地址）【自反性】，基站A可以和相邻的基站B通信，那么基站B也能和基站A通信（正常情况下）【对称性】，基站A可以和基站B通信，基站B可以和基站C通信，那么基站A通过B的中转也能和基站C通信（同样是正常情况下）【传递性】。

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相容关系举例

集合A={cat, teacher, cold, desk, knife, by}

定义关系r = { | x, y∈A 且 x和y有相同的字母}

那么r是一个相容关系。

自己和自己有相同的字母【自反性】，如果A和B有相同的字母，那么B和A也有相同的字母【对称性】

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偏序关系举例

设A是正整数m=12的因子集合，设≤为整除关系，求COVA

A = {1， 2， 3， 4， 6， 12}

“≤” = {<1, 2>, <1,3>, <1,4>, <1,6>, <1,12>, <2,4>, <2, 6>, <2, 12>, <3, 6>, <3, 12>, <4, 12>, <6, 12>, <1, 1>, <2,2>, <3, 3>,     <4, 4>, <6,6>, <12, 12>} 

在求覆盖集之前我先说一下为什么求覆盖集，可以说求覆盖集是画哈斯图的准备工作。由于偏序关系具有反对称性，所以哈斯图可以用无向图来表示偏序关系，又由于偏序关系的传递性，所以我们在画哈斯图的时候可以不用画多余的传递边，这些传递边的消去就是覆盖集的工作内容

COVA = {<1,2>, <1,3>, <2,4>, <2,6>, <3,6>, <4,12>, <6,12>}

哈斯图如下

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等价类的定义

设R为集合A上的等价关系，对任何a∈A，集合 [a]R={x | x∈A， aRx} 称为元素a形成的R的等价类

由于等价关系满足对称性，所以也可以将定义写成 [a]R={x | x∈A， xRa}

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等价关系与等价类的例题

例题一：设I为整数集，R={ | x mod y=k}，证明R是等价关系

证明： 对于任意 a，b，c∈I，有

1）因为 a-a = k*0， 所以 ∈R，R满足自反性

2）假设 a mod b = k，即有 a-b=kt ， 那么 b-a=-kt ， 所以∈R， R满足对称性

3）假设a mod b = k 且 b mod c = k，即 a-b=kt， b-c=ks，那么有 a-b+b-c=k(t+s) ，即 ∈R， R满足传递性

综上所述，得证R是等价关系

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例题二：设关系R为整数集I上的模3同余关系，求R的等价类

解：由例题一已经得证R是等价关系，对于模3同余关系，一共有三个等价类

[0]R = {... , -6, -3, 0, 3, 6, ...}

[1]R = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}

[2]R = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}

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例题三：求证给定集合A上的等价关系R，对于a，b∈A，有aRb，当且仅当 [a]R=[b]R

证明：假设 [a]R=[b]R，因为 a∈[a]R, 所以a∈[b]R, 即有aRb

反之，若 aRb，则有 c∈[a]R => aRc => cRa => cRb => c∈[b]R

所以有 [a]R 包含于 [b]R,

同理可证 [b]R 包含于 [a]R

所以有 [a]R=[b]R

得证

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商集的定义

对于集合A上的等价关系R，其等价类的集合称为商集，比如例题二中的商集 I/R={ [0]R, [1]R, [2]R }