数学建模：商人过河问题（牛虎问题/传教士野人问题）C语言实现

问题分析

读题可以看出这是一个多步决策问题，可以用计算机进行编程解决更大范围的问题，建模时老师可能会要求用matlab进行编程实现，但我还是喜欢用C语言，可以更加直观地显示建模过程！！！

对于每一步的决策，可以选择一定数量的商人和仆人上船，然后在河的左岸和右岸之间进行摆渡，并且保证每一次摆渡都不能使得商人被杀死（当然，如果不存在一种安全过河的方案，那么商人必死）

当n=3，r=2时，船的左岸或右岸的（商人，仆人）数目有4*4=16种选择，再加上岸的左右，所以有32种选择。然后再去考虑船上（商人，仆人）的数目组合（注意：船上肯定不能没有人！）
对于给定的所有穿上（商人，仆人）的组合，从（n，n）这个初始状态开始，进行不断的选择操作，然后如果下一个（商人，仆人）状态符合要求，则保存到相应的栈数组中，直到左岸（商人，仆人）=（0,0），且船在右岸。

注：上述提到的（商人，仆人）均为左岸的商人、仆人数目，因为商人和仆人的人数已经给定，所以一旦左岸人数确定，那么右岸人数必然已经确定了。
其实本题的思路就是朴素的深度优先搜索，针对一种过河方案，一鼓作气走到底，如果不能成功，则选择下一个过河方案。是回溯法的应用！

AC代码

/*
Author:snnu_lgw
Date：2020/6/11 
*/
#include
using namespace std;
typedef long long ll;


int state[100][100][2];  /*商人和仆人的状态是否已经访问过，0表示未访问，1表示已经访问过，
                         **数组的第一维表示商人的数目，第二维表示仆人的数目，第三维表示左岸或者右岸：0是左岸，1是右岸*/ 
int state_num ; //已经存在的状态的个数 
int n,r;/*n表示商人/仆人的个数，r表示小船乘坐的人数*/
ll num_ship; /*表示船上 人数的状态 数目 */
int OK;/*判断商人是否能够成功过河*/ 

struct Ship{
	int a; //船上 商人的数目 
	int b; //船上 仆人的数目 
}ship[100000]; //可以运输的商人与仆人的数目 

struct Node{
	int a,b;
	int c; //0表示在左岸，1表示在右岸 
}node[10000]; /*存储所有走过的状态*/

void init_ship()
{/* 初始化合适的船上的人数的集合 */
	int num = 1;
	while(num<=r)
	{
		ship[++num_ship].a=0;
		ship[num_ship].b=num; 
		num++;
	}
	
	for(int i=1;i<=r;i++)
	{	
		int t = 0;
		while(t<=i && (t+i)<=r)
		{
			ship[++num_ship].a=i;
			ship[num_ship].b=t;
			t++;
		}
	} 
}


void CrossRiver(int x,int y,int z)
{
	node[++state_num].a = x;
	node[state_num].b = y;
	node[state_num].c = z; 
	
	if(x==0&&y==0&&z==1)
		{
			OK = 1;
			for(int i=1;i<=state_num-1;i++) 
				cout<<"("<<node[i].a<<","<<node[i].b<<")"<<"--->"<<"("<<node[i+1].a<<","<<node[i+1].b<<")"<<endl;
			return;
		}
	else 
		{
			for(int i=1;i<=num_ship;i++)
			{
				if(z==0)/*船当前在左岸，那么下一步船将开往右岸*/
				{
					int left_x = x-ship[i].a;
					int left_y = y-ship[i].b;
					int right_x = n-left_x;
					int right_y = n-left_y; 
					
					if( (left_x>=0&&left_y>=0)&&   //保证左岸的商人和仆人的数量没有减为 负数 ，因为船是往右岸方向走，所以右岸数目不会变为负数（毕竟船不会空载） 
						(left_x>=left_y||left_x==0)&&   // 保证左岸的商人数目大于等于仆人数目，或者商人数目为0 
						(right_x>=right_y||right_x==0)&&// 保证右岸的商人数目大于等于仆人数目，或者商人数目为0 
						(state[left_x][left_y][1]==0)  //保证即将到达的下一个状态是没有访问过的 
					  )
					{
						state[left_x][left_y][1] = 1;//当前状态访问了！ 
						CrossRiver(left_x,left_y,1);	
					} 
				}
				else /*船当前在右岸，那么下一步船将开往左岸*/
				{
					int left_x = x+ship[i].a;
					int left_y = y+ship[i].b;
					int right_x = n-left_x;
					int right_y = n-left_y; 
					
					if( (right_x>=0&&right_y>=0)&&   //保证右岸的商人和仆人的数量没有减为 负数 
						(left_x>=left_y||left_x==0)&&   // 保证左岸的商人数目大于等于仆人数目，或者商人数目为0 
						(right_x>=right_y||right_x==0)&&// 保证右岸的商人数目大于等于仆人数目，或者商人数目为0 
						(state[left_x][left_y][0]==0)  //保证即将到达的下一个状态是没有访问过的 
					  )
					{
						state[left_x][left_y][0] = 1;//当前状态访问了！ 
						CrossRiver(left_x,left_y,0);	
					} 
				}
			}
		}
	
	state[x][y][z] = 0; //该状态改为 未访问！  
	state_num--;  //状态出栈，理论上的出栈，实际内存上没有 
	
}

int main()
{
	cin>>n>>r;
	init_ship();
/*
**输出所有可以满足条件的船上 商人&仆人的个数  
	for(int i=1;i<=num_ship;i++)
		cout<
	state[n][n][0] = 1;//初始状态访问 
	CrossRiver(n,n,0);  //初始0表示船在左岸 
	if(OK==0) 
		cout<<"Game Over!\n"<<n<<"个商人，"<<n<<"个仆人，船上可乘坐"<<r<<"个人的情况下无法成功将商人运送到河对岸！"<<endl;
	return 0;
}

参考资料：https://www.cnblogs.com/kangjianwei101/p/5221654.html