使用k-d树进行无序点云去噪

离散点云的点之间是没有拓扑结构的，因此为了找到它的几何属性，可以找到各点的邻域结构。对于采样点 pi∈P 定义其邻域 Nkpi 为采样点 pi 的最近的 k 个采样点组成的集合，即K-nearest neighbors。
那么寻找K-nearest neighbours的方法主要由以下三种：
* 八叉树法
* 空间网格法
* k-d树法

一、八叉树法

（1）首先确定数据点集最小包围盒的边长 Lmin 作为递归的终止条件；
（2）把点云包围盒平均分成8个小的包围盒，对包含多个采样点的包围盒继续分割，直到达到递归的终止条件，分割过程用八叉树记录；
（3）广度遍历八叉树，利用数据点的空间分布与包围盒的空间关系，快速搜索出任意采样点 P 的邻域关系。

二、空间网格法

空间网格法也是基于对空间包围盒的划分，首先确定出包围盒的大小 {xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax} ,然后按照 X,Y,Z 方向上创建一系列的平行平面进行分割，这些平面把整个包围盒划分成多个小的包围盒，取各个小包围盒中最靠近该包围盒中心的点作为代表，表示整个包围盒中的数据。
这样不仅确定了空间结构，而且可以精化点云数据。

三、k-d树法

1、k-d树的构建过程

下面以构建二维空间的k-d树为例，介绍一种k-d树的生成的方法。
（1）首先按 X 轴的分割线对空间进行分割。计算所有点的 x 坐标的平均值，选择所有点中最接近平均值的点作为分割线，把空间中的点进行分割；
（2）对分隔好的空间按照 y 轴的分割线进行分割，分割过程同上。分割好后继续按 x 轴进行分割，依次类推，直到最终只剩每个空间中只有一个点结束分割。
这样的分割过程就对应于一个二叉树，每个分割线对应于一个分支，每个点对应于一个叶子节点。

2、k-d树的搜索过程

假设这里已经存在一棵已经建立好的二叉树，如下图所示：

这是对一组二维点集 {(2,3),(8,1),(9,6),(4,7),(7,2),(5,4)} 建立起的二叉树。
现在有一点 (2,4.5) ，需要查找它的最近邻点，查找方法如下所示。
（1）首先在建立好的k-d树上进行遍历，因为 (2,4.5) 的x坐标比7小，因此进入 (7,2) 的左子树，由因为 (2,4.5) 的纵坐标比4大，因此进入 (5,4) 的右子树，到达叶子节点 (4,7) ;
（2）计算 (2,4.5) 与 (4,7) 的距离为3.202，现在假定 (4,7) 为最近邻点，进行回溯，计算 (2,4.5) 与 (5,4) 的距离为3.041，则假定最近邻点为 (5,4) ；以 (2,4.5) 为圆心，以3.041为半径画一个圆，如下图所示：

可见该圆与 (5,4) 所在的分割线有交点，因此需要对 (5,4) 的左子树进行遍历，发现与 (2,3) 的距离为1.5。继续回溯，而以 (2,4.5) 为圆心，以1.5为半径画圆，与 (7,2) 所在的分割线没有交点，因此不需要对 (7,2) 的右子树进行遍历，如下图所示：

所以最终找的最近邻点为 (2,3) ，查找结束。
这里有一个博客对k-d树的建立与查找讲得很详细，我的例子就是参考的它的，感谢。
http://www.cnblogs.com/eyeszjwang/articles/2429382.html

四、根据k-d树进行无序点云去噪

（1）根据点云数据生成k-d树，建立点云的拓扑关系；
（2）查找任一点的的邻域；
（3）计算该点与邻域内各点的距离取平均值；
（4）判断该平均值是否超过阈值，若超过则判定该点为噪点，进行去除。