概率图模型（PGM）里的的条件独立（conditional independent）

条件独立（conditional independent）是概率论和概率图模型中的一个基本概念

预备知识：

贝叶斯公式（bayesian rule）：

链式法则（chain rules of probability theory）:

我们总可以对变量进行排序，将每个节点的父节点都放在该节点之前，通过链式法则可以把一个概率密度函数写成一般的因式分解的形式，对于变量顺序为：

当然通过这个公式我们也可以反向看出变量的排序。

在有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）中，节点代表观测的随机变量，节点之间边代表变量之间的关系。这因为这些“边”的存在，明确了表示了变量节点之间的顺序和因果关系，如果用表示节点的父节点，那么有：

 

条件独立：

条件独立是概率论中的概念，给定Z的条件下若X和Y满足：

或者写做：

则称在给定条件Z的情况下X和Y独立，记做：

DAG中的三种基本结构：

考试的难度和智商是相互独立的：

汇连结构：

但是，当已知学生的成绩的时候（也就是把成绩作为观察变量），显然考试难度和智商不在相互独立。难度高的话智商高的肯能行大，难度低的话智商高的可能性就小。

作为原因的多个因素，即使它们之间是相互独立的，给定结果之后这些原因就可能变的相关了。

所以像这种产生共同结果（Common Effect，or Collider）的事件，当结果不作为观测变量的时候，原因是相互独立的，也叫做边缘独立（Marginal Independence）.

顺连结构：

         

这种顺序的结构里（经典的Markov链形式，过去、现在、未来），在已知成绩的条件下，考试难度和能否获得推荐信是相互独立的，一般成绩好获得推荐信的概率就大。

 

分连结构：

这种Common Cause(or Fork)结构，G和S是条件I独立的，可以理解为，Intelligence的存在揭示了Grade和SAT之间的所有“关系”

给定原因的情况下，多个结果之间如果没有因果关系是条件独立的。

总结：

对上面的三种结构的介绍进行总结可以得到Markov条件（Markov condition）也叫做局部Markov性：

变量节点会无条件依赖（unconditional dependent）于它的父节点（parent nodes），但是会条件独立（conditionally independent）于它的所有非后裔（nondescendants）节点，这个条件就是要已知它的父节点。

无向图里的条件独立：

无向图里的条件独立比有向图里的简单。

同样定义三个节点集A,B,C, 考虑任意一个连接A集合里的点到B集合里的点的所有可能的路径，如果这些路径都会经过一个或多个集合C里的点，就说这些路径是“blocked”，那么即条件独立性质成立

另一种验证条件独立的方法是，假设从图中移除集合C里的所有点和连接到这些点的所有线，如果集合A何集合B的的点之间不再有任何通路，那么条件独立的性质就成立。

这张图表示了，集合A中的节点到B中的节点的通路，总是至少通过一个集合C中的节点。，因此成立

案例：

为了帮助理解条件独立的概念，引用一个来自维基百科的一个例子conditional independence：

事件R、B、Y 分别代表图中被涂为红色、蓝色和黄色的方块，事件的概率指每个颜色的小方块占总方块个数的比例。在给定Y的情况下R和B是条件独立的，因为有：

P(R、B | Y)=P(R | Y)P(B | Y)，但是P(R、B | not Y)=P(R | not Y)P(B | not Y)是不成立的

事件独立的性质有：

对应的条件独立的的性质有：

1、

2、

证明：

1、

2、

又

故