矩阵论（六）：矩阵的条件数

矩阵论专栏：专栏（文章按照顺序排序）

参考资料：
线性代数基础知识系列：1、2、3、4、5
矩阵分解—从Schur分解、特征值分解EVD到奇异值分解SVD（下）
矩阵的正定性

矩阵的条件数用于界定一个矩阵是“良态的”还是“病态的”，一般来说，条件数越大，矩阵越接近一个奇异矩阵（不可逆矩阵），矩阵越“病态”。在数值计算中，矩阵的条件数越大，计算的误差越大，精度越低。例如下面解线性方程组的例子：

矩阵A的条件数很大：

如果A受到很小的扰动，变成如下的矩阵B，可以发现方程的解的变化非常大：

如果我们采集的数据有稍微一点点的偏差，就像上面的例子，我们得到的结果就会相差很多，这不是我们希望看到的。所以，衡量一个矩阵的病态程度是很有必要的。
下面先从矩阵范数入手，在此基础上再去了解条件数：

• 矩阵的范数
  • 范数公理
  • Frobenius范数
    • Frobenius范数与特征值和奇异值的关系
    • 特征值与奇异值之间的关系总结
  • 诱导范数/算子范数
    • $1,2,\infty$范数的具体表达式
• 矩阵的条件数及求法
  • 条件数的定义与性质
  • 条件数的计算
• 条件数在误差估计方面的应用
  • 线性方程组的误差估计
  • 矩阵求逆的误差估计
  • 思考：什么时候$cond(A)$最小？

【说明】设$F$为一数域。本文$F^{n\times 1}$与$F^n$不作区分，即默认把$F^n$中的向量视作列向量。在$F^n$上定义的$l_p$范数在$F^{n\times 1}$上也适用。文中$R$表示实数域，$C$表示复数域。$F_r^{m\times n}$表示数域$F$上全体秩为$r$的$m\times n$矩阵的集合。

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矩阵的范数

范数公理

• 定义1：矩阵$A\in F^{m\times n}$的范数$||A||$必须是实值函数且满足如下性质：
  • $\forall A\ne O,||A||>0;||O||=0$ （非负性/正定性）
  • $\forall c\in F,||cA||=|c|||A||$ （齐次性）
  • $||A+B||⩽||A||+||B||$ （三角不等式）
  • $||AB||⩽||A||||B||$ （矩阵乘法的相容性）
• 定理1（矩阵范数的性质）：
  （1）$||I||⩾1$
  证明：由$||I||⩽||I||||I||$（矩阵乘法的相容性）且$||I||>0$即证。
  【注】需要注意的是，$||I||=1$是不一定成立的。例如$||I|{|}_F=\sqrt{n}$（Frobenius范数，见后文），其中$n$是单位矩阵$I$的阶数。但是，单位矩阵的算子范数（诱导范数）总是1，证明见后文。
  （2）设$A\in C^{n\times n}$，任取A的一个特征值$\lambda$，则有$|\lambda |⩽||A||$
  证明：参照（3）的证明的前半部分。
  【注】根据谱半径的定义，可得$\rho (A)⩽||A||$。
  （3）设$A\in C_n^{n\times n}$，则对A的任一特征值$\lambda$有$||A^{-1}|{|}^{-1}⩽|\lambda |⩽||A||$
  证明：设$Ax=\lambda x,x\ne 0$，则$|\lambda |||x||=||Ax||⩽||A||||x||$且$||x||>0$，故$|\lambda |<||A||$。用$A^{-1}$左乘$Ax=\lambda x$得到$\lambda A^{-1}x=x$，故$||x||=||\lambda A^{-1}x||⩽|\lambda |||A^{-1}||||x||$，又$||x||>0$故$|\lambda |||A^{-1}||⩾1$，即$||A^{-1}|{|}^{-1}⩽|\lambda |$。综上得证。

常用范数

• Frobenius范数
  和向量的Frobenius范数（L2范数、欧几里得范数）类似，矩阵的Frobenius范数也是把每一个元素的模的平方加起来再开根号：
  • 定义2：矩阵的Frobenius范数定义为$||A|{|}_F=\sqrt{tr(A^{H}A)}=\sqrt{{\sum }_{i,j}|a_{ij}{|}^2}$，其中$a_{ij}$是A的第i行,第j列元素
    Frobenius范数是满足上面四条范数公理的，证明稍微有些繁琐，这里就不写了。
    由Frobenius范数很容易得到酋矩阵的一个性质：
    • 定理2：设U是n阶酋矩阵，则U的任意特征值的模长为1
      证明：
      设$Ux=\lambda x,x\ne 0$，则$||Ux|{|}_F=|\lambda |||x|{|}_F$，因为$||Ux|{|}_F=\sqrt{tr(x^H{U}^{H}Ux)}=\sqrt{tr(x^{H}x)}=||x|{|}_F$，且$||x|{|}_F>0$，所以$|\lambda |=1$。
      这个定理在前面的博客链接中证明过，方法和这里本质上是一回事。
  • Frobenius范数与特征值的关系
    • 定理3（Schur不等式）：设$A\in C^{n\times n}$，$A$的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，则$||A|{|}_F⩾\sqrt{{\sum }_i|{\lambda }_i{|}^2}$，且取等号的充要条件为$A$是正规矩阵
      证明：
      设$A$的一个Schur分解为$A=UT{U}^H$，其中$U$是酋阵，$T=(t_{ij}{)}_{n\times n}$是上三角阵。则$||A|{|}_F=\sqrt{tr(A^{H}A)}=\sqrt{tr(U{T}^H{U}^{H}UT{U}^H)}=\sqrt{tr(U{T}^{H}T{U}^H)}=\sqrt{tr(U^{H}U{T}^{H}T)}=\sqrt{tr(T^{H}T)}=||T|{|}_F$，注意$T$的主对角元是${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，所以$||A|{|}_F=||T|{|}_F=\sqrt{{\sum }_{i,j}|t_{ij}{|}^2}⩾\sqrt{{\sum }_i|{\lambda }_i{|}^2}$。接下来考虑取等号的条件。显然取等号的充要条件是$\sqrt{{\sum }_{i,j}|t_{ij}{|}^2}=\sqrt{{\sum }_i|{\lambda }_i{|}^2}$，即$T$除主对角线外元素均为零，即$T$是一对角阵，即$A$酋相似于一对角阵，即$A$是一正规矩阵。
  • Frobenius范数与奇异值的关系
    • 定理4：设$A\in C^{m\times n}$，${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_k$是$A$的非零奇异值（重奇异值按重数算），则$||A|{|}_F=\sqrt{{\sum }_i{\sigma }_i^2}$
      证明：
      设$A^{H}A$的一个谱分解为$A^{H}A=U\Sigma U^H=U\Sigma U^{-1}$。
      $||A|{|}_F=\sqrt{tr(A^{H}A)}=\sqrt{tr(U\Sigma U^{-1})}=\sqrt{tr(U^{-1}U\Sigma )}=\sqrt{tr(\Sigma )}=\sqrt{{\sum }_i{\sigma }_i^2}$。
    • 定理5：设$A\in C_n^{n\times n}$，则$||A^{-1}|{|}_F=\sqrt{{\sum }_{i}1/{\sigma }_i^2}$，其中${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_n$是$A$的奇异值（重奇异值按重数算）
      证明：
      由逆矩阵的奇异值与原矩阵的奇异值的关系以及定理4直接可得。
      【注】逆矩阵的奇异值与原矩阵的奇异值的关系见链接。

结合定理3和定理4的结论，借此机会总结一下矩阵的特征值和奇异值之间的关系：
设$A\in C^{n\times n}$，$A$的特征值按照模从小到大排序为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，$A$的奇异值按照从小到大排序为${\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n$，则有如下结论

1. ${\sum }_i{\sigma }_i^2⩾{\sum }_i|{\lambda }_i{|}^2$
2. ${\sum }_i{\sigma }_i^2={\sum }_i|{\lambda }_i{|}^2$的充要条件为$A$是正规矩阵
3. ${\sigma }_i=|{\lambda }_i|,i=1,2,...,n$的充要条件为$A$是正规矩阵

注意，结论3的充分性在前面的博客文章中已经证明，必要性进行简单分析即可：如果${\sigma }_i=|{\lambda }_i|,i=1,2,...,n$，那么${\sum }_i{\sigma }_i^2={\sum }_i|{\lambda }_i{|}^2$，于是根据结论2知$A$是正规矩阵。

• 诱导范数（算子范数）
  顾名思义，诱导范数不是用代数式直接定义的，而是“诱导”过来的，具体地说，是由向量的$l_p$范数诱导的。回顾一下向量的$l_p$范数：

  • 定义3：$||x|{|}_p=({\sum }_{i=1}^m|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}},p\in R\wedge p⩾1$
    前面的博客（链接）中还提到过$l_{\infty }$范数，其实就是$l_p$范数当p趋于正无穷时的极限。
  • 定义4：$||x|{|}_{\infty }=max(|x_1|,|x_2|,\cdots ,|x_m|)$
  • 定义5：矩阵$A\in F^{m\times n}$的P范数（诱导范数）定义为$$||A|{|}_p=\underset{x\ne 0}{\max }\frac{||Ax|{|}_p}{||x|{|}_p},p\in R\wedge p⩾1$$
    【注1】值得注意的是，当$A$是一个列向量时，定义式中的$x$成了一个标量，分子分母可共同约去$|x|$，此时矩阵的$p$范数就退化成了向量的$l_p$范数。因此矩阵的P范数可看做是向量的$l_p$范数在矩阵上的推广。
    【注2】由定义显然易见单位矩阵的诱导范数是1。
  • 定理6：矩阵的诱导范数满足四条范数公理
    证：
    [非负性] 显然$||O|{|}_p=0$。对于$A\ne O$，一定存在$A$的一个元素$a_{ij}\ne 0$，设$A_j$表示$A$的第j列，$e_j$表示第j个基本向量（第j个元素为1，其他元素为0），则$||A|{|}_p⩾\frac{||A{e}_j|{|}_p}{||e_j|{|}_p}=\frac{||A_j|{|}_p}{||e_j|{|}_p}$，因为$A_j\ne 0$，所以由$l_p$范数的性质知$||A_j|{|}_p>0$，故$||A|{|}_p>0$。
    [齐次性] 略。
    [三角不等式] $||A+B|{|}_p={\max }_{x\ne 0}\frac{||Ax+Bx|{|}_p}{||x|{|}_p}⩽{\max }_{x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_p+||Bx|{|}_p}{||x|{|}_p}⩽{\max }_{x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_p}{||x|{|}_p}+{\max }_{x\ne 0}\frac{||Bx|{|}_p}{||x|{|}_p}=||A|{|}_p+||B|{|}_p$（证明用到了$l_p$范数的三角不等式和上确界的性质）。
    [矩阵乘法的相容性] 先证明对任意$A\in F^{m\times n},x\in F^n$有$||Ax|{|}_p⩽||A|{|}_p||x|{|}_p$：若$x=0$显然成立，若$x\ne 0$，则根据定义有$||A|{|}_p={\max }_{y\ne 0}\frac{||Ay|{|}_p}{||y|{|}_p}⩾\frac{||Ax|{|}_p}{||x|{|}_p}$，即$||Ax|{|}_p⩽||A|{|}_p||x|{|}_p$也成立。再证明对矩阵乘法的相容性：$||AB|{|}_p={\max }_{x\ne 0}\frac{||ABx|{|}_p}{||x|{|}_p}⩽{\max }_{x\ne 0}\frac{||A|{|}_p||Bx|{|}_p}{||x|{|}_p}=||A|{|}_p||B|{|}_p$。

• 常用的诱导范数

  • 定理7：1范数$||A|{|}_1={\max }_j{\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|,j=1,2,...,n$（又叫列和范数）
    证明：
    根据定义，$||A|{|}_1={\max }_{x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_1}{||x|{|}_1}$。由于$$\begin{array}{rl}\frac{||Ax|{|}_1}{||x|{|}_1}& =\frac{{\sum }_{i=1}^m|{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j|}{{\sum }_{j=1}^n|x_j|}\\ & ⩽\frac{{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}||x_j|}{{\sum }_{j=1}^n|x_j|}\\ & =\frac{{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^m|a_{ij}||x_j|}{{\sum }_{j=1}^n|x_j|}\\ & ⩽\frac{ma{x}_j{\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|{\sum }_{j=1}^n|x_j|}{{\sum }_{j=1}^n|x_j|}\\ & =\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|\end{array}$$这说明${\max }_j{\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|$是$\frac{||Ax|{|}_1}{||x|{|}_1}$的一个上界。构造如下的向量$x^{\prime }\ne 0$，使得$\frac{||A{x}^{\prime }|{|}_1}{||x^{\prime }|{|}_1}={\max }_j{\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|$：
    设当$j=k$时${\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|$取得最大值，令$x^{\prime }$的第k个分量为1，其他分量为0，则易验证$\frac{||A{x}^{\prime }|{|}_1}{||x^{\prime }|{|}_1}={\max }_j{\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|$。这就证明了$||A|{|}_1={\max }_j{\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|,j=1,2,...,n$。
  • 定理8：2范数$||A|{|}_2={\sigma }_{max}$（又叫谱范数），其中${\sigma }_{max}$是A的最大奇异值
    证明：（请参考矩阵的正定性中矩阵不等式部分的内容）
    根据定义，$||A|{|}_2={\max }_{x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_2}{||x|{|}_2}={\max }_{x\ne 0}\sqrt{\frac{x^H{A}^{H}Ax}{x^{H}x}}$。考虑半正定矩阵$A^{H}A$的一个谱分解$A^{H}A=U\Sigma U^H$，其中$\Sigma =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_n)$满足${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾...⩾{\lambda }_n⩾0$，则有矩阵不等式$\Sigma ⩽{\lambda }_{1}I$成立。于是$$\begin{array}{rl}\sqrt{\frac{x^H{A}^{H}Ax}{x^{H}x}}& =\sqrt{\frac{x^{H}U\Sigma U^{H}x}{x^{H}x}}\\ & =\sqrt{\frac{(U^{H}x{)}^H\Sigma (U^{H}x)}{(U^{H}x{)}^H(U^{H}x)}}\\ & ⩽\sqrt{\frac{(U^{H}x{)}^H{\lambda }_{1}I(U^{H}x)}{(U^{H}x{)}^H(U^{H}x)}}\\ & =\sqrt{{\lambda }_1}={\sigma }_{max}\end{array}$$现构造向量$x^{\prime }\ne 0$使得$\frac{||A{x}^{\prime }|{|}_2}{||x^{\prime }|{|}_2}={\sigma }_{max}$：
    显然只要$U^H{x}^{\prime }=(1,0,..,0{)}^T$就有$(U^H{x}^{\prime }{)}^H\Sigma (U^H{x}^{\prime })={\lambda }_1$且$(x^{\prime }{)}^H{x}^{\prime }=1$，故构造$x^{\prime }=U(1,0,..,0{)}^T$，就有$\frac{||A{x}^{\prime }|{|}_2}{||x^{\prime }|{|}_2}={\sigma }_{max}$。这就证明了$||A|{|}_2={\sigma }_{max}$。
    【推论1】若A可逆，则$||A^{-1}|{|}_2=1/{\sigma }_{min}$，其中${\sigma }_{min}$是A的最小奇异值
    证明：（请参考链接中逆矩阵的奇异值部分）
    设$A$的最小奇异值为${\sigma }_{min}$，由$A^{-1}$与$A$的奇异值的关系知，$1/{\sigma }_{min}$是$A^{-1}$的最大奇异值。故$||A^{-1}|{|}_2=1/{\sigma }_{min}$。
    【推论2】若A是正规矩阵，则$||A|{|}_2=|\lambda |$，其中$\lambda$是A的模最大的特征值；若A还可逆，则$||A^{-1}|{|}_2=1/|{\lambda }^{\prime }|$，其中${\lambda }^{\prime }$是A的模最小的特征值。
    证明：由正规矩阵的特征值与奇异值的关系即证（见链接）。
  • 定理9：$\infty$范数$||A|{|}_{\infty }={\max }_i{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|,i=1,2,...,m$（又叫行和范数）
    证明：
    若$A=O$，则结论显然成立。下面证明$A\ne O$的情况：
    根据定义，$||A|{|}_{\infty }={\max }_{x\ne 0}\frac{||Ax|{|}_{\infty }}{||x|{|}_{\infty }}$。$$\begin{array}{rl}\frac{||Ax|{|}_{\infty }}{||x|{|}_{\infty }}& =\frac{{\max }_i|{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j|}{{\max }_j|x_j|}\\ & ⩽\frac{{\max }_i{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}||x_j|}{{\max }_j|x_j|}\\ & ⩽\frac{{\max }_i{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|{\max }_j|x_j|}{{\max }_j|x_j|}\\ & =\underset{i}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|\end{array}$$现构造列向量$x^{\prime }\ne 0$使得$\frac{||A{x}^{\prime }|{|}_{\infty }}{||x^{\prime }|{|}_{\infty }}={\max }_i{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$：
    设当$i=k$时${\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$取得最大值，令$x^{\prime }$满足$$x_j^{\prime }=\{\begin{array}{ll}\frac{\overline{a_{kj}}}{|a_{kj}|}& a_{kj}\ne 0\\ 0& a_{kj}=0\end{array}$$（注意，因为$A\ne O$，所以至少存在一个$j$使得$a_{kj}\ne 0$）则$a_k{x}^{\prime }={\sum }_{j=1}^n|a_{kj}|={\max }_i{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$且$||x^{\prime }|{|}_{\infty }=1$。因为$$\begin{array}{rl}|a_i{x}^{\prime }|& =|\sum _{a_{kj}\ne 0}{a}_{ij}\frac{\overline{a_{kj}}}{|a_{kj}|}|\\ & ⩽\sum _{a_{kj}\ne 0}|a_{ij}||a_{kj}||a_{kj}{|}^{-1}\\ & =\sum _{a_{kj}\ne 0}|a_{ij}|\\ & ⩽\sum _{j=1}^n|a_{ij}|\\ & ⩽\sum _{j=1}^n|a_{kj}|\\ & =|a_k{x}^{\prime }|\end{array}$$所以$||A{x}^{\prime }|{|}_{\infty }=|a_k{x}^{\prime }|$，$\frac{||A{x}^{\prime }|{|}_{\infty }}{||x^{\prime }|{|}_{\infty }}=|a_k{x}^{\prime }|={\max }_i{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$。
    这就证明了$||A|{|}_{\infty }={\max }_i{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|,i=1,2,...,m$。

• 其它范数

  • 定义6：Mahalanobis范数$$||A|{|}_{\Omega }=\sqrt{tr(A^H\Omega A)}$$其中$\Omega$是一个正定矩阵，有点类似于向量的二次范数。

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矩阵的条件数

• 定义7：设$A\in F_n^{n\times n}$，A的条件数定义为$cond(A)=||A||||A^{-1}||$，其中$||\bullet ||$是定义在$F^{n\times n}$上的矩阵范数

根据定义来看，任意一种矩阵范数都可以用来定义条件数。矩阵的条件数具有如下性质：（以下均设A，B是同阶可逆矩阵）

• 定理10：
  （1）$cond(A)⩾1$
  证明：$cond(A)=||A||||A^{-1}||⩾||I||⩾1$
  （2）$cond(A)=cond(A^{-1})$
  （3）$cond(kA)=cond(A),k\ne 0,k\in F$
  （4）$cond(AB)⩽cond(A)cond(B)$
  证明：$cond(AB)=||AB||||B^{-1}{A}^{-1}||⩽||A||||B||||B^{-1}||||A^{-1}||=cond(A)cond(B)$

下面是四种常用的条件数（分别对应上面介绍的四种矩阵范数）：

• 定义8：
  （1）$con{d}_1(A)=||A|{|}_1||A^{-1}|{|}_1$（1-条件数）
  （2）$con{d}_2(A)=||A|{|}_2||A^{-1}|{|}_2$（2-条件数）
  （3）$con{d}_{\infty }(A)=||A|{|}_{\infty }||A^{-1}|{|}_{\infty }$（$\infty$-条件数）
  （4）$con{d}_F(A)=||A|{|}_F||A^{-1}|{|}_F$（Frobenius范数的条件数）
  上面四种条件数在matlab中的调用分别为cond(A,1)，cond(A,2)，cond(A,inf)，cond(A,‘fro’)

2-条件数可以通过矩阵的奇异值分解计算得到，这是因为有如下计算式：

• 定理11：$con{d}_2(A)=\frac{{\sigma }_{max}}{{\sigma }_{min}}$，其中${\sigma }_{max}$是A的最大奇异值，${\sigma }_{min}$是A的最小奇异值
  证明：$con{d}_2(A)=||A|{|}_2||A^{-1}|{|}_2$，定理8及其推论已经证明$||A|{|}_2={\sigma }_{max}$，$||A^{-1}|{|}_2=1/{\sigma }_{min}$，所以$con{d}_2(A)=\frac{{\sigma }_{max}}{{\sigma }_{min}}$。

当A是正规矩阵时，还有如下计算式：

• 定理12：$con{d}_2(A)=\frac{|{\lambda }_{max}|}{|{\lambda }_{min}|}$，其中${\lambda }_{max}$是A的模最大的特征值，${\lambda }_{min}$是A的模最小的特征值。
  （由正规矩阵的特征值与奇异值的关系可知${\sigma }_{max}=|{\lambda }_{max}|$且${\sigma }_{min}=|{\lambda }_{min}|$，证明参考链接）

由上面的计算式可以导出2-条件数的如下性质：

• 定理13：若U为酋矩阵，则$con{d}_2(U)=1$且
  $con{d}_2(AU)=con{d}_2(UA)=con{d}_2(A)$
  证明：由于酋矩阵都是正规矩阵，故$con{d}_2(U)=\frac{|{\lambda }_{max}|}{|{\lambda }_{min}|}$，而酋矩阵的任意特征值的模长为1（定理2），故$con{d}_2(U)=1$。由于奇异值具有酋不变性（旋转不变性），故$AU$，$UA$，$A$的奇异值相同，所以$con{d}_2(AU)=con{d}_2(UA)=con{d}_2(A)$。

F-条件数也可以根据矩阵的奇异值（或$A^{H}A$的谱分解）计算得出，有如下计算式：

• 定理14：设$A\in C_n^{n\times n}$，${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_n$为$A$的全部奇异值（重奇异值按重数算），则$con{d}_F(A)=\sqrt{{\sum }_i{\sigma }_i^2{\sum }_{i}1/{\sigma }_i^2}$
  证明：根据定理4和定理5有$||A|{|}_F=\sqrt{{\sum }_i{\sigma }_i^2}$以及$||A^{-1}|{|}_F=\sqrt{{\sum }_{i}1/{\sigma }_i^2}$。

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误差估计

条件数可以给出误差估计的界，从而能够用于衡量一个问题是良态的还是病态的。下面以两个常见的问题为例（矩阵求逆和线性方程组求解），说明条件数在误差估计方面的作用。
【注】下面出现的条件数均由矩阵的算子范数定义，即$cond(A)=||A||||A^{-1}||$，其中$||\bullet ||$是矩阵的任意算子范数（诱导范数）。

• 引理：设$||\bullet ||$是矩阵的任意一个诱导范数。若$||B||<1$，则$I-B$可逆，且有$||(I-B{)}^{-1}||⩽\frac{1}{1-||B||}$
  证明：
  先用反证法证明$I-B$可逆：假设$I-B$不可逆，则齐次线性方程组$(I-B)x=0$有非零解，于是$$\begin{array}{rl}0& =||0||=||(I-B)x||=||x-Bx||\\ & ⩾||x||-||Bx||⩾||x||-||B||||x||\\ & =(1-||B||)||x||>0\end{array}$$矛盾，故$I-B$可逆。
  由$I-B$可逆，有$$\begin{array}{rl}1& =||I||=||(I-B)(I-B{)}^{-1}||=||(I-B{)}^{-1}-B(I-B{)}^{-1}||\\ & ⩾||(I-B{)}^{-1}||-||B(I-B{)}^{-1}||⩾||(I-B{)}^{-1}||-||B||||(I-B{)}^{-1}||\\ & =(1-||B||)||(I-B{)}^{-1}||\end{array}$$于是$||(I-B{)}^{-1}||⩽\frac{1}{1-||B||}$。

条件数对矩阵求逆的误差估计

• 定理15：设$A\in F_n^{n\times n}$，$\delta A\in F^{n\times n}$，若$||A^{-1}\delta A||<1$，则$A+\delta A$可逆，且下式成立：$$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A{)}^{-1}||}{||A^{-1}||}⩽\frac{||A^{-1}\delta A||}{1-||A^{-1}\delta A||}$$
  证明：
  因为$||-A^{-1}\delta A||=||A^{-1}\delta A||<1$，故由引理知$I+A^{-1}\delta A=I-(-A^{-1}\delta A)$可逆，且有$||(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}||⩽\frac{1}{1-||A^{-1}\delta A||}$。
  因为$A+\delta A=A(I+A^{-1}\delta A)$，故$A+\delta A$也是可逆的，且$$\begin{array}{rl}{A}^{-1}-(A+\delta A{)}^{-1}& =A^{-1}-(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}{A}^{-1}\\ & =(I-(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1})A^{-1}\end{array}$$注意到$(I+A^{-1}\delta A)(I-(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1})=A^{-1}\delta A$，即$I-(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}=(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}{A}^{-1}\delta A$，于是$$\begin{array}{rl}\frac{||A^{-1}-(A+\delta A{)}^{-1}||}{||A^{-1}||}& ⩽||I-(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}||\\ & =||(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}{A}^{-1}\delta A||\\ & ⩽||(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}||||A^{-1}\delta A||\\ & ⩽\frac{||A^{-1}\delta A||}{1-||A^{-1}\delta A||}\end{array}$$证毕。
  【注】当矩阵$A$的误差$\delta A$足够小，即$||\delta A||$足够小时，能够满足$||A^{-1}||||\delta A||<1$，则$||A^{-1}\delta A||⩽||A^{-1}||||\delta A||<1$，即定理的条件满足。

• 定理16：设$A\in F_n^{n\times n}$，$\delta A\in F^{n\times n}$，若$||A^{-1}\delta A||<1$，则下式成立：$$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A{)}^{-1}||}{||A^{-1}||}⩽\frac{cond(A)}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}\frac{||\delta A||}{||A||}$$
  证明：
  只需证明$\frac{||A^{-1}\delta A||}{1-||A^{-1}\delta A||}⩽\frac{cond(A)}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}\frac{||\delta A||}{||A||}$即可。$$\begin{array}{rl}\frac{||A^{-1}\delta A||}{1-||A^{-1}\delta A||}& ⩽\frac{||A^{-1}||||\delta A||}{1-||A^{-1}||||\delta A||}\\ & =\frac{||A^{-1}||||A||}{1-||A^{-1}||||A||\frac{||\delta A||}{||A||}}\frac{||\delta A||}{||A||}\\ & =\frac{cond(A)}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}\frac{||\delta A||}{||A||}\end{array}$$得证。
  【注】显然，当相对误差项$\frac{||\delta A||}{||A||}$固定时，矩阵的条件数$cond(A)$越大，则矩阵求逆的相对误差$\frac{||A^{-1}-(A+\delta A{)}^{-1}||}{||A^{-1}||}$的上界越大，即该误差越“不可控”。这说明矩阵的条件数越大，则解越不稳定，解的精度受到问题输入的误差的影响越大。

条件数对线性方程组求解的误差估计

• 定理17：设$A\in F_n^{n\times n}$，$\delta A\in F^{n\times n}$，$b,\delta b\in F^n$，若$||A^{-1}\delta A||<1$，$x$满足$Ax=b$，$x+\delta x$满足$(A+\delta A)(x+\delta x)=(b+\delta b)$，则$$\frac{||\delta x||}{||x||}⩽\frac{cond(A)}{1-cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}}(\frac{||\delta A||}{||A||}+\frac{||\delta b||}{||b||})$$
  证明：
  由$||-A^{-1}\delta A||=||A^{-1}\delta A||<1$知，$I+A^{-1}\delta A=I-(-A^{-1}\delta A)$可逆，且$||(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}||⩽\frac{1}{1-||A^{-1}\delta A||}⩽\frac{1}{1-||A^{-1}||||\delta A||}$。
  由已知可得$(A+\delta A)\delta x=\delta b-(\delta A)x$，用$A^{-1}$左乘两端得$(I+A^{-1}\delta A)\delta x=A^{-1}(\delta b-(\delta A)x)$，则$\delta x=(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}{A}^{-1}(\delta b-(\delta A)x)$。$$\begin{array}{rl}||\delta x||& =||(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}{A}^{-1}(\delta b-(\delta A)x)||\\ & ⩽||(I+A^{-1}\delta A{)}^{-1}||||A^{-1}||||(\delta b-(\delta A)x)||\\ & ⩽\frac{||A^{-1}||}{1-||A^{-1}||||\delta A||}(||\delta b||+||\delta A||||x||)\\ & =\frac{||A^{-1}||||A||||x||}{1-||A^{-1}||||\delta A||}(\frac{||\delta b||}{||A||||x||}+\frac{||\delta A||}{||A||})\end{array}$$因为$Ax=b$，所以$||b||⩽$