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hessian矩阵特征值

研究hessian矩阵去噪的过程中想了解下hessian矩阵特征值的意义及用法
Hessian矩阵的特征值：就是形容其在该点附近特征向量方向的凹凸性，特征值越大，凸性越强。

对于二维图像的某点的hessian矩阵，其最大特征值和其对应的特征向量对应其邻域二维曲线最大曲率的强度和方向，即山坡陡的那面；最小特征值对应的特征向量对应与其垂直的方向，即平缓的方向。
简单来讲，图像某点的hessian矩阵特征值大小和符号决定了该点邻域内的几何结构。
三维图像同理。由此原理设计的一些滤波器（最经典的是Frangi filter）在医学领域的MRA和CTA血管造影增强有很重要的应用。


基于Hessian矩阵，就可以判断多元函数的极值情况了，结论如下

如果是正定矩阵，则临界点处是一个局部极小值
如果是负定矩阵，则临界点处是一个局部极大值
如果是不定矩阵，则临界点处不是极值

如何判断一个矩阵是否是正定的，负定的，还是不定的呢？一个最常用的方法就是顺序主子式。实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各顺序主子式都大于零。当然这个判定方法的计算量比较大。

对于实二次型矩阵还有一个判定方法：实二次型矩阵为正定二次型的充要条件是的矩阵的特征值全大于零。为负定二次型的充要条件是的矩阵的特征值全小于零，否则是不定的




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