特征值和特征向量

1.定义

\large A x=\lambda x

\large A:n阶矩阵     \large \lambda:常数    \large x:非零列向量

 

2.求解

(1).

\large (A-\lambda E)x=0

是否存在非零解,转换成我们常见的问题,只需要看  \large |A-\lambda E|  的秩是否小于 n 即可,也就是是否存在 \large \lambda 使得\large |A-\lambda E|为零

(2).

相似矩阵求解   见下方

 

3.几何意义

特征值和特征向量_第1张图片

在图中,我们可以得到 特征向量\large \vec{v}  在\large A的作用下,进行了\large \lambda 倍的伸缩。

 

特征值和特征向量_第2张图片

\large A 还有一个特征向量,这个特征向量在 \large A 的作用下,产生了 \large \lambda 倍缩减,

 

在图中我们也可以看出 特征向量所在的直线 的点都是 A的特征向量

 

 

 

矩阵:可以看做是一种运动

特征向量:可以看做运动的方向

特征值:可以看做运动的速度

 

可以具体的来看一个例子:

通过不断地左乘矩阵A,所得的向量点

特征值和特征向量_第3张图片

矩阵所代表的运动的最明显的特征,即速度最大的方向,就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。

 

 

4.应用:

1.图片压缩

只需要取特征值的前几个,特征值的和 就已经超过 所有特征值总和的 大部分了。

对于其他的特征就不需要考虑了

 

 

附:相似矩阵求解特征向量

\large P^{-1}AP=B 

存在可逆矩阵\large P,使得上式成立,我们说 \large B\large A 的相似矩阵。

相似矩阵的性质: \large A\large B 的特征多项式相同,所以特征值也是相同的

如果B为 \large \Lambda (对角矩阵),我们可以发现 对角阵的值就是 A的特征值, P的列向量对应相应特征值的特征向量

存在可逆矩阵P的充分必要条件是: A 存在 n个线性无关的 特征向量

几何意义:

只有P为正交矩阵的时候,最大特征值对应的特征向量必定在基上,才会一直向着对应的特征向量方向走。

转:https://www.zhihu.com/question/21874816

 

 

 

 

参考:

1.知乎 马同学:https://www.zhihu.com/question/21874816

 

拓展:如果矩阵不是方阵,求特征值和特征向量需要用到 奇异值分解

 

 

 

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