【数据库系统原理】第二章 关系数据模型

2.1 关系模型的基本概念

2.1.1 关系模型

什么是关系模型：

• 是一种关系数据库基于的模型，由一个或多个关系组成的集合。
• 是由行和列构成的表。
• 优点是其简单的数据表示，也易于表示复杂的查询。
• 是SQL语言的基础。

关系示例：

如图：

• 联系：指一些实体之间的关联（ID - name - dept_name - salary）。
• 关系：一种数学概念（即“表”）。
• 实体-联系（E-R）：指真实世界中的逻辑。
• 关系（表）、元组（行）：指机器世界中的逻辑。

关系的基本结构：
① 一般的，给出D_i (i=1,2,3…k)表示表中每一列的元素集合，如：

D₁ = 导师集合 = { 张清枚，刘逸 }
D₂ = 专业集合 = { 计算机，信息 }
D₃ = 研究生集合 = { 李勇，刘晨，王名 }

② 计算 D₁ × D₂ × D₃ 得到下表：

• 共12个元组（12行）。
• 关系：导师-专业-学生

关系的属性类型及特点：

• 关系的每个属性都有一个名称（即表中每一列的属性名称，如“导师”、“专业”、“学生”）。
• 域：每个属性的取值集合称为属性的域。
• 属性值必须为原子的，不可分割，多值属性值不是原子的（如某人有多个电话号码），复合属性值不是原子的（如名字由姓、名两个复合属性组成）。
• 特殊值NULL：是每一个域的成员，会给数据库访问和更新带来很多困难。

2.1.2 关系模式和关系实例

关系涉及的两个概念：

• 关系模式：用于描述关系的结构（即表的“表头”）
  如 Instructor-schema = ( ID: string, name: string, dept_name: string, salary: int )
  或Instrutor-schema = (ID, name, dept_name, salary )
• 关系实例：表示一个关系的特定实例，也就是所包含的一组特定的行。

关系、关系模式、关系实例之间的区别：

• 关系：等价于变量。
• 关系模式：等价于变量类型。
• 关系实例：等价于变量值。

关系模式的表示：

• 设A₁，A₂，…，A_n是属性，一般的，用R=(A1，A2，...，An)表示关系模式。
  如Instructor-schema = (ID，name，dept_name，salary)
• 用r®表示在关系模式R上的关系：
  如：instructor(Instructor-schema) = instructor(ID，name，dept_name，salary)

关系实例的表示：

• 关系实例由表指定。
• 一个元素t代表表中的一行。
• 如果元组变量t代表一个元祖，那么t[name]表示属性name的t的值。
• 元组的顺序性是无关紧要的（元组能够以任意顺序存储），但一个关系中不能有重复的元组。

码、键;

• 超码：假设对于关系模式R，有属性K含于R，且K能够唯一标识一个元组，则称K是R的超码。
  如：有关系R = (A₁，A₂，A₃，A₄)，则K₁ = { A₁ }或K₂ = { A₁，A₂ } 都是R的超键。
• 候选码：最小的超码称为候选码。
  如：K₁即为R的候选码，而K₂是R的超码但不是R的候选码。
• 主键：如果K是一个候选码，并由用户明确定义，则称K为主键，用下划线标记。
• 外键：如果存在两个关系R和S，R=( A，B，C)，S=(B，D)，则在关系R上的属性B称为参照S的外码，R称为外码依赖的参照关系，S叫做外码被参照关系。如：
  学生 = （学号，姓名，性别，专业号，年龄）
  专业 = （专业号，专业名称）
  则“学生”称为参照关系，“专业”称为被参照关系，“专业号”称为关系“学生”的外码。
• 参照关系中外码的值必须在被参照关系中实际存在或为NULL。

用图表示关系：
例：某大学数据库模式图：

2.2 关系代数和关系运算

关系代数的运算概览：

2.2.1 基本运算

• 选择运算：σ（r） = { t | t∈r and p（t）}
  例：有关系r，

则满足条件A=B且D>5的关系σ_{A=B and D>5}（r）为，

• 投影运算：Π_{A1，A2，…，Ak}（r）= 保留此k列的值，删除重复的行
  例：有关系r，

则满足条件Π_A、C（r）为，

• 并运算：r∪s={ t | t∈r or t∈s }
  例：有关系 r 和关系 s，

则r∪s为，

• 差运算：r - s = { t | t∈r and t∉s }
  例：有关系 r 和 s，

则 r - s 为，

• 广义笛卡尔积：r × s = { { t q } | t∈r and q∈s }
  例1：有关系 r 和 s，

则 r × s 为

例2：有关系 r 和 s，则 r × s 为，

• 更名运算：ρ_x（E）
  例：ρ_{x(A1，A2，…，An)}（E）表示将关系E重命名为X，并将关系E的元素重命名为A₁,A₂,…,A_n 。

2.2.2 基本运算示例

银行示例：

例1：找出贷款额大于$1200的元组

σ_额度>1200（贷款）

例2：找出贷款大于$1200的贷款号

Π_贷款号（σ_额度>1200（贷款））

例3：找出有贷款或有账户或两者兼有的所有客户姓名

Π_客户名（借款人）∪ Π_客户名（存款人）

例4：找出至少有一个贷款及一个账户的客户姓名

Π_客户名（借款人）∩ Π_客户名（存款人）

例5：找出在名为“鼓楼分行”的分支机构有贷款的顾客姓名

• Π_客户名（σ_{支行名=“鼓楼分行”}（σ_{借款人.贷款号=贷款.贷款号}（贷款×借款人）））
• Π_客户名（σ_{借款人.贷款号=贷款.贷款号}（借款人×（σ_{支行名=“鼓楼分行”}（贷款））））

注：显然后者的查询方式生成的中间量少，查询效率更高。

例6：找出在名为“鼓楼分行”的分支结构只有贷款，且在其他分支机构没有存款的顾客姓名

• Π_客户名（σ_{支行名=“鼓楼分行”}（σ_{借款人.贷款号=贷款.贷款号}（贷款×借款人）））- Π_客户名（存款人）
• Π_客户名（σ_{借款人.贷款号=贷款.贷款号}（借款人×（σ_{支行名=“鼓楼分行”}（贷款））））- Π_客户名（存款人）

注：后者查询方式更高效，理由同上。

例7：找出银行中最大的账户余额

• Π_余额（账户）- Π_余额（σ_{账户.余额（账户×ρd（账户）））}

2.2.3 附加运算

定义附加运算的目的：用以简化一些常用查询。

• 交运算：r ∩ s = { t | t∈r and t∈s } = r ∩ s = r - ( r - s )
  例：有关系 r 和 s，

则 r ∩ s为，

• 自然连接：假设有关系R=（A，B，C，D），S=（E，B，D），则 r ∞ s =Π_{r.A，r.B，r.C，r.D，s.E}(σ_{r.B=s.B ^ r.D=s.D}（r×s）)
  例：有关系 r 和 s，则 r∞s 为，

• 除运算：假设有关系R=（A₁，…，A_m，B₁，…，B_n），S=（B₁，…，B_n），则关系R - S = （A₁，…，A_m），r ÷ s={ t | t∈Π_R-S（r）∧ ∀ u∈r，tu∈r }
  例：有关系 r 和 s，

则 r ÷ s 为，

• 赋值运算：“←”可以使复杂的查询表达变的简单
  例：有表达式，

可表示为，

2.2.4 附加运算示例

银行示例：

例1：找出至少拥有一个“鼓楼分行”和“金明分行”分支机构的账户的用户姓名

• Π_客户名（σ_{支行名=“鼓楼分行”}（存款人∞账户））∩ Π_客户名（σ_{支行名=“金明分行”}（存款人∞账户））
• Π_{客户名，支行名}（存款人∞账户）÷ρ_{temp（支行名）}（{（“鼓楼分行”），（“金明分行”）}）

例2：找出拥有开封市所有分支机构的账户的客户姓名

• Π_{客户名，支行名}（存款人∞账户）÷ Π_支行名（σ_{支行城市=“开封市”}（支行））

2.3 扩展运算及空值

2.3.1 扩展运算

• 广义投影：Π_{F1，F2，…，Fn}（E），其中F₁，F₂，…，F_n是涉及E模式中常量和属性的算数表达式
  例：给出关系

信用卡信息=（客户名，透支上限，已透支额度）

则找出每个客户还能花费多少，可表述为

Π_{客户名，透支上限-已透支额度}（信用卡信息）

• 聚集函数：

avg：平均值
min：最小值
max：最大值
sum：值的总和
count：值的数量

聚集函数的关系代数表达式：

_{G1，G2，…，Gn} g _{F1（A1）,F2（A2），…，Fn（An）}（E）

1. G1，G2，…，Gn是用于分组的一系列属性。
2. F_i是聚集函数
3. A_i是属性名

例：有关系 r，

则，求C列的平均值可表示为

按A分组求C列的和可表示为

按B分组求C列的平均值可表示为

• 注意：聚集运算的结果是没有名称的，可以使用更名运算为其命名或把重命名作为聚集运算的一部分。
• 如：_支行名 g _{sum（余额）as “总余额”}（账户），指将运算后的余额之和所在列重命名为“总余额”。

• 外连接：
  例：有关系loan和关系borrower

则内连接为，

左外连接为，

右外连接为，

全外连接为，

注：对于无法确定的信息用null表示。

2.3.2 空值及数据库修改

空值的性质：

1. 元组的某些属性值是可以为空的。
2. null表示未知值或值不存在。
3. 涉及空的任何算术表达式的结果为空。
4. 在SQL对空值的处理语义中，聚集函数会忽略空值。
5. 在SQL对空值的处理语义中，为了消除重复和分组，空值和其他值同等对待。
6. 与空值的比较将返回一个特殊值：unknown。
7. 使用特殊值unknown的三值逻辑：

• OR：
  （unknown or true）= true
  （unknow or false）= unknown
  （unknown or unknown）= unknown
• AND：
  （true and unknown）= unknown
  （false and unknown）= false
  （unknown and unknown）= unknown
• NOT：
  （not unknown）= unknown

8. 在SQL中，如果谓词P的值为unknown，那么“P is unknown”的值为真。
9. 如果选择谓词的值为unknown，那么选择谓词的结果被认为false。

数据库的修改：

1. 删除
2. 插入
3. 更新

注：所有这些操作都使用赋值操作表示

银行示例：

• 删除：r ← r - E （其中r是关系，E是关系代数表达式）

例1：删除“鼓楼分行”分支结构的所有账户
可表示为：账户 ← 账户 - σ_{支行名=“鼓楼分行”}（账户）

例2：删除贷款额在0到50之间的所有贷款
可表示为：贷款 ← 贷款 - σ_{额度>=0 and 额度<=50}（贷款）

例3：删除位于开封市的分支机构的所有账户
可表示为：
r₁ ← σ_{支行城市=“开封市”}（账户∞支行）
r₂ ← Π_{账户号，支行名，余额}（r₁）
r₃ ← Π_{客户名，账户名}（存款人∞r₂）
账户 ← 账户 - r₂
存款人 ← 存款人 - r₃

• 插入：r ← r ∪ E（其中r是关系，E是关系代数表达式）

例1：向数据库中插入信息：张三在“鼓楼分行”分支机构的账户A-973上有1200RMB
可表示为：
账户 ← 账户 ∪ {（A-973，“鼓楼分行”，1200）}
存款人 ← 存款人∪ {（“张三”，A-973）}

例2：对“鼓楼区支行”分支机构的每一个贷款客户赠送一个新的200RMB的存款账户，并将其贷款号码作为此账户的号码
可表示为：
r₁ ← σ_{支行名=“鼓楼分行”}（借款人∞贷款）
账户 ← 账户∪ Π_{贷款号，支行名，200}（r₁）
存款人 ← 存款人 ∪ Π_{客户名，贷款号}（r₁）

• 更新：r ← Π_{F1，F2，…，Fi}（r）（其中，当第i个属性不被修改时，Fi表示的是r的第i个属性，当被修改时，Fi表示的是一个只涉及常量和r属性的表达式，表达式给出了此属性的新值）

例1：要付给所有账户5％的利息
可表示为：账户 ← Π_{账户号，支行名，余额*1.05}（账户）

例2：给余额超过10 000以上的账户付6％的利息，而其他账户得到5％的利息
可表示为：
账户 ← Π_{账户号，支行名，余额*1.06}（σ_{余额>10 000}（账户））∪ Π_{账户号，支行名，余额*1.05}（σ_{余额<=10000}（账户））

（完）