动态规划(DP)算法初识

先用大白话来说一下几种经典算法大概的意思：

1. 贪心算法：我就一次机会，为了达到目的，其他的我啥也不考虑
2. 回溯算法：我有无数次机会，还能怕我有达不到目的的时候？
3. 动态规划算法：我能随意在任何时候进行存档读档，用最华丽的方法走到终点。

接下来的几篇文章可能都会围绕dp来说，从白话和较多篇幅去解释dp算法的内在

简述

动态规划求解出最优策略的原理是因为显著的降低了时间复杂度，提高了代码的运行效率，但动态规划也确实很难学，不过，一旦我们知道了解决思路，那么对于很多动态规划的问题，也都可以用相似的思路去解决。

将会用实际的问题，更好的去去理解动态规划

0-1 背包问题

在上一期的回溯的相关算法中，我们知道了如何采用递归的思想穷举所有解法，选出最优，然后解决问题，还是这道题，如果我们要对于一组不同重量、不可分割的物品，选择一些装入背包，在满足最大重量限制的前提下，如何最贴近最大重量。

我们首先用递归树看一下回溯的思路：

首先假设每个物品重量是 2 2 4 6 3,我们假设 i 表示将要决策第几个物品是否装入背包，cw表示当前背包中物品的总重量，然后用(i,cw)。比如，(2,2)表示将要决策第2个物品是否要装入背包，决策前，背包的总重为2.

我们可以从递归树明显的看出，有些子问题的求解是重复的，重复的计算必然会造成性能的丢失，如果我们能保留之前的结果，计算之前先检索一下，如果有计算过，那么直接拿过来用，肯定会提升一下性能。

事实上，动态规划的思路已经和这相差无几，但还是让我们来看看动态规划的思路：

1. 首先将整体求解分为n个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放到包里。
2. 不论放入还是不放入，背包的重量假设都造成了变化，而这些不同的变化，也就对应着递归树的节点
3. 合并重复的节点，避免节点指数级增长
4. 基于这一层的节点，推导出下一层的状态集合

然后用上面的思路，代入到0-1背包问题中做一个思路引导：

1. 首先我们创建一个布尔类型的二维数组states[n][w]，记录每个节点的不同状态。n代表第n个物品，w代表背包能承受的最大质量。
2. 第0个(假设物品序列从0开始计算)物品的重量是2，放入，就是states[0][2]，不放入，就是states[0][0]，但是因为最大重量w是9，所以上面两个表达式的结果都是true。
3. 然后是第一个物品，重量也是2，那么造成的结果就是，states[1][4],states[1][2],states[1][2],states[1][0]
4. 然后我们发现，有两个表达式重复了，所以合并掉，其他三个因为重量小于9，所以也是true
5. 不断继续，最后只需要选择最接近9还是true的就行了。

用false代表0，用true代表1，效果图如下：

然后再用代码表达一下：

这就是动态规划总体的思路，而且时间复杂度比起回溯的n²也有了很大的改善，为wn，n表示物品个数，而w表示可以承载的总重。

但是为了能够解决所有的情况，我们在存档的时候还是很占用空间的，那么有什么办法降低空间消耗吗？

实际上，我们可以将二维数组转换成一维数组，在动态转移的过程中都可以依靠这个一维数组来完成，下面来展示一下代码：

0-1背包问题升级版

如果我们再将这些物品赋予价值概念的话，该如何让背包最大可承受重量一定的时候让价值更高。

首先，这个问题也是可以通过回溯的办法解决的：

还是针对上面的代码画出递归树，和之前的思路相同，只不过加入了一个新的值：value

我们发现，在很多情况下，重量相同但是价值会有区别，这也就是我们这个题目的目标，舍弃掉相对价值低的，保留相对价值更高的，保留递归的思路，其他状态就不考虑了。

于是我们继续采用动态规划思想。

设一个二维数组states[n][w+1]，来记录每层都可以达到的不同状态，不过这次不再是布尔类型了，而是int类型，用来记录当前状态的最大价值。然后按照之前的思路，根据当前阶段，推导出后续状态。

然后翻译成代码：

其实思路都是和之前相同的，但是在这里引入了第三个变量，也就是value，和之前的例子大同小异，时间复杂度也仍然是wn。