bzoj 3528 [ZJOI2014] 星系调查 题解

【原题】

星系调查
【问题描述】
银河历59451年，在银河系有许许多多已被人类殖民的星系。如果想要在行
星系间往来，大家一般使用连接两个行星系的跳跃星门。  一个跳跃星门可以把
物质在它所连接的两个行星系中互相传送。
露露、花花和萱萱被银河系星际联盟调查局任命调查商业巨擘ZeusLeague+
的不正当商业行为。
在银河系有N个已被ZeusLeague+成功打入市场的行星系，不妨标号为
1,2,...,N。而ZeusLeague+在这N个行星系之间还拥有自己的M个跳跃星门。使
用这些跳跃星门，ZeusLeague+的物资就可以在这N个行星系中两两任意互相传
输。由于经费问题，跳跃星门的个数不会超过行星系的个数。
露露在颇费周折之后得到了ZeusLeague+在这N个行星系中的各自的贸易总
额C[i]。
萱萱设计了一个经济学特征指标D[i]来度量这N个行星系的经济学特征。于
是，我们可以用二元组(C[i],D[i])来表示第i个行星系的XP(Xuan's Position)。现
在假设我们有k个行星系的XPs，把它们放置在二维平面上，然后我们用一条直
线去拟合这些XPs。定义一条直线与XPs的相斥度为这条直线到各个XP的Euclid
距离的平方之和。再令XPs的线性假设相斥度为所有直线与XPs的相斥度中的
最小者。那么，这个值越小，ZeusLeague+在这k个行星系中的相互贸易活动就
越可疑，从而值得进一步调查。花花负责计算许多行星系对(u,v)的非可疑度。一
条跳跃星门航线的非可疑度被定义为它经过的所有行星系（包括起点和终点）的
XPs的线性假设相斥度。而一个行星系对(u,v)的非可疑度则被定义为所有以u为
起点，v为终点的跳跃星门航线的非可疑度中的最小值。一条跳跃星门航线是指
从某个行星系开始，通过跳跃星门依次到达某些行星系，然后终止，并且中途不
重复经过行星系，这样的一个过程。
花花负责计算许多行星系对(u,v)的非可疑度。一条跳跃星门航线的非可疑度
被定义为它经过的所有行星系（包括起点和终点）的XPs的线性假设相斥度。
而一个行星系对(u,v)的非可疑度则被定义为所有以u为起点，v为终点的跳跃星
门航线的非可疑度中的最小值。一条跳跃星门航线是指从某个行星系开始，通过
跳跃星门依次到达某些行星系，然后终止，并且中途不重复经过行星系，这样的
一个过程。
在花花数天夜以继日的工作之后，平行调查组的你——大名鼎鼎的计算机科
学家Hcceleration.Gerk.Gounce不忍心看到她这样不眠不休，于是你在完成了手
头的工作之后决定帮一帮她。
【输入格式】 
输入文件inv.in 的第一行是N，M，分别表示这个银河系内的行星系的个数
以及跳跃星门的个数。
接下来N行，每行2个正整数C[i], D[i]，表示第i 个行星系的XP(Xuan's 
Position)。

接下来的M行来描述跳跃星门，每行2个正整数u[i],v[i]，表示有一个连接
着行星系u[i]和v[i]的跳跃星门。注意这个连接是无向的。不会存在自己连向自
己的情况。也不会存在重复连接的情况。
接下来的一行，有一个正整数Q，表示花花需要计算的非可疑度的行星对数。
接下来的Q行，每行2个正整数s[i], t[i]，表示花花需要计算从s[i]到t[i]的
非可疑度。
【输出格式】 
输出文件inv.out总共Q行，每一行一个实数，表示花花第i次需要计算的答
案。你的答案需要和标准答案的差不超过0.01才能得分。
【样例输入】 
6 6 
3 4 
5 6 
1 3 
4 4 
3 3 
2 4 
1 2 
1 3 
2 3 
2 4 
3 5 
5 6 
3 
3 6 
2 4 
4 6 
【样例输出】 
0.66667 
0.00000 
1.67544
【数据规模与约定】 
提示：我们把行星系抽象成一个点，跳跃星门抽象成一条边。那么题目要描
述的是一张边数不会超过点数的联通无向图。

【分析】先直接列出了一个很傻X的方程：

（图破了，就将就着看下面的第一个式子吧）

然后就不知道应该怎么办了，暴力展开？没什么用。显然询问Q不是吃素的，每次必须转化为LGN的算法。

看了网上一篇大牛的题解，当时整个人都不好了——就是暴力 展开。

以下是细节。

太神了！推是很好推，我真正动容的是：那么多项竟然没有推错？！

瞬间就会了。我们维护从根节点到某一个点的上述所有值的和。

（可以开一个结构体，重载+，这样会方便很多）

先不考虑环的情况。若计算x到y的路径，设z=LCA(x,y)，那么我们用x、y、z带出所有项。

然后就是O(1)算出δ的值了。

如果有环，先用并查集或克鲁斯卡尔或dfs或bfs求出多出的那条边的左右两点。

我们只需分类讨论环的左右点和x、y的关系，用同样的方法求解。

话说我在最后一步的时候还推错了，囧。

代码丑，就不放了。