by Conmajia
2014
工程中有时候需要解微分方程，比如这种：
\[ y'=y-\cfrac{2x}{y} \]
\(y(0)=1\). 两边积分，得到：
\[ \begin{align*} \int_{x_n}^{x_{n+1}}y'\mathrm{d} x&=\int_{x_n}^{x_{n+1}}\left(y-\cfrac{2x}{y}\right)\mathrm{d} x \\ y_{n+1}-y_n&=\int_{x_n}^{x_{n+1}}\left(y-\cfrac{2x}{y}\right)\mathrm{d}x \\ y&=\sqrt{1+2x} \end{align*} \]
工程上只想要数值解，一般采用差分近似代替微分. 最简单最朴素的办法是用欧拉公式：
\[ \tag{1} y_{n+1}=y_n+\Delta x f(x_n,y_n)\quad n=0,1,2,\cdots \]
推导很简单，对\(x_n\)，有：
\[ y'_n=f(x_n,y_n). \]
对\(y'(x_n)\)有：
\[ \tag{2} y'_n\approx \cfrac{y_{n+1}-y_n}{\Delta x}. \]
式(2)左边叫微商（不是喜提迪丽热巴的那个微商），右侧叫差商（不是淘宝伪劣产品卖家），\(\Delta x=\left|x_{n+1}-x_n\right|\).
代回式(2)，有：
\[ \begin{align*} y'_n=f(x_n,y_n) \Rightarrow\cfrac{y_{n+1}-y_n}{\Delta x} &\approx f(x_n,y_n) \\ y_{n+1}-y_n &\approx \Delta x f(x_n,y_n) \\ y_{n+1} &\approx y(x_n)+\Delta x f(x_n,y_n). \end{align*} \]
式(1)的欧拉公式成了：
\[ \tag{3} y_{n+1}=y_n+\Delta x\left(y_n-\cfrac{2x_n}{y_n}\right). \]
假设用myFn函数表示余项\(y_n-\dfrac{2x_n}{y_n}\)：
function myFn(x, y) {
return y - 2 * x / y;
}Euler可以这样实现：
function calculate(x0, y0, delta, xn) {
var yn;
while(x0 < xn) {
yn = y0 + delta * myFn(x0, y0);
y0 = yn;
x0 = x0 + delta;
}
return yn;
}现在可以开始试验了。
理论上：
\[ y=\sqrt{1+2x}\Rightarrow y(1)=\sqrt{3}\approx 1.7321 \]
\(\sqrt{3}\)是方程的真值，程序的目标是通过计算，得到尽量接近真值的结果.
取\(x_0=0\)，\(y_0=1\)，\(\Delta x=0.1\)，程序计算结果为：
ans = 1.784771误差3.04%. 减小\(\Delta x\)，比如\(\Delta x=0.0001\)，计算结果为：
ans = 1.732112误差0.0007%，十分接近真值了.
虽然这个方法可以求到比较精确的解，但是\(\Delta x\)太小的话，while会执行很多次，效率低下.
引入定积分的梯形公式：
\[ \int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y)\mathrm{d}x\approx\cfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})\right] \]
式(3)可以写成：
\[ \tag{4} y_{n+1}\approx y_n+\cfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})\right]. \]
式(3)和式(4)的特点是，前者速度快，精度低；后者速度慢，精度高. 所以对于粗算，可以使用：
\[ y'_{n+1}=y_n+\Delta x f(x_n,y_n) \]
精算，可以用：
\[ y_{n+1}=y_n+\cfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y'_{n+1})\right]. \]
结合起来，先通过粗算得到\(y'_{n+1}\)的近似值，再进行精算，得到高精度的最终解. 这样的话，既保证了计算结果的准确度，又没有消耗太多的计算资源，保证了计算效率. 下面是改进后的计算程序：
function calculate(x0, y0, delta, xn) {
var yp, yc;
while(x0 < xn) {
yp = y0 + delta * myFn(x0, y0);
yc = y0 + delta * myFn(x0 + delta, yp);
y0 = 1 / 2 * (yp + yc);
x0 = x0 + delta;
}
return y0;
}取\(x_0=0\)，\(y_0=1\)，\(\Delta x=0.1\)，计算结果为：
ans = 1.737867误差0.33%.
和最早版本（误差3.04%）相比，在 \(\Delta x\) 相同——意味着循环次数相近——的情况下，精度提高接近10倍.
具体问题具体分析，手工求微分方程基本是这么个思路. 当然，对于《数值分析》和《工程数学》这些课程来说，我上面写的东西不过是小儿科了. 更多的时候，做个伸手党其实很不错的，大把的现成玩意儿可以用，我干嘛还要费那劲呢？
The End. \(\Box\)