GBDT,XGboost,Lightgbm,Catboost总结

mark一下，感谢作者分享！
一、DBDT
分裂
GBDT使用的决策树就是CART回归树，无论是处理回归问题还是二分类以及多分类，GBDT使用的决策树自始至终都是CART回归树。
　　对于回归树算法来说最主要的是寻找最佳的划分点，那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数，都是用纯度来衡量的，但是在回归树中的样本标签也是连续数值，所以再使用熵之类的指标不再合适，取而代之的是平方误差，它能很好的评判数据分散程度。我们希望最佳划分节点能够使得划分得到的两组数据组内的标签值相近，如果每组的方差都很小，这就说明每组的组内相似度很高，确实应该被划分。
　　取自李航《统计学习方法》回归树伪代码：

从上图可以看出：利用方差寻找最佳划分点，预测值选择决策树的叶子节点中所有样本的真实值的均值。
Gradient Boosting： 负梯度——残差

在上述损失函数中，GBDT选取了相对来说容易优化的损失函数——平方损失。针对怎样去拟合这个损失，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度为：

对应损失函数列表可知，GBDT使用的平方损失，经过负梯度拟合得到了y−f(xi)，这就是我们最终要去拟合的，它的另一个名字叫作残差。回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中，第一次迭代的残差是10岁，第二 次残差4岁……
　上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了，下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。先上一张伪代码的图：
　
　算法流程：
1.初始化弱学习器

2.对迭代轮数m=1,2,…M有：
　　ａ）对每个样本i=1,2,…,N，计算负梯度，即残差





我算出来，上图中的总方差，实际上为4个样本平均方差。


5.预测样本5：
　　样本5在根节点中（即初始学习器）被预测为1.475，样本5的年龄为25，大于划分节点21岁，所以被分到了右边的叶子节点，同时被预测为0.275。此时便得到样本5的最总预测值为1.75。
参考资料
李航 《统计学习方法》
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6140514.html
https://www.cnblogs.com/ModifyRong/p/7744987.html
https://www.jianshu.com/p/005a4e6ac775

二、详述Xgboost原理
https://www.jianshu.com/p/7467e616f227

xgboost 已然火爆机器学习圈，相信不少朋友都使用过。要想彻底掌握xgboost，就必须搞懂其内部的模型原理。这样才能将各个参数对应到模型内部，进而理解参数的含义，根据需要进行调参。本文的目的就是让大家尽可能轻松地理解其内部原理。主要参考文献是陈天奇的这篇文章 introduction to xgboost。在我看来，这篇文章是介绍xgboost 最好的，没有之一。英语好的同学建议直接看英文，若有不是很理解的地方，再来参考本文。

1、你需要提前掌握的几个知识点

1、监督学习
监督学习就是训练数据有标签的学习。比如说，我有10万条数据，每个数据有100个特征，还有一个标签。标签的内容取决于学习的问题，如果数据是病人进行癌症诊断做的各项检查的结果，标签就是病人是否得癌症。是为1，不是为0.

监督学习就是要从这10万条数据中学习到根据检查结果诊断病人是否得癌症的知识。由于学习的范围限定在这10万条数据中，也就是说，学习的知识必须是从这10万条数据中提炼出来。形象地理解，就是在这10万条带标签数据的“监督”下进行学习。因此称为监督学习。
2、监督学习的成果
监督学习学习到的知识如何表示，又是如何被我们人类使用呢？简单讲，学习到的知识用一个模型来表示，我们人类就用这个模型来使用学习到的知识。
那么，模型是什么东西？
模型就是一个数学表达式。最简单的一个模型就是线性模型，它长这个样子：y^i=∑_j θ_j*x_ij。用我们上面的例子讲，x_i就是我们10万条数据中的第i条，x_ij就是第i条数据中的第j个检查结果。y^i就是模型对这条数据的预测结果，这个值越大，表明病人得癌症的概率也大。通常，我们还需将y^i处理成0到1的值，以更清晰地表明这是一个概率预测，处理的方法一般是用sigmoid函数，不熟悉的朋友可参考其他资料。θ_j就是第j个检查结果对病人是否得癌症的“贡献度”，它是我们模型的参数，也就是我们从10万条数据中学习到的知识。

可见，所谓监督学习，就是两步，一是定出模型确定参数，二是根据训练数据找出最佳的参数值，所谓最佳，从应用角度看，就是最大程度地吸收了10万条训练数据中的知识，但从我们寻找参数的过程来看，却有另一番解释，下文会详细解释，找到最佳参数后，我们就得出一个参数都是已知的模型，此时，知识就在其中，我们可以自由使用。

3、如何找出最佳参数
以上面的线性模型为例，病人有100个检查结果，那么就有100个参数θ_j（j从1到100）。每个参数可取值都是实数，100个参数的组合显然有无穷多个，我们怎么评判一组参数是不是最佳的呢？
此时，我们需要另外一个函数来帮助我们来确定参数是否是最佳的，这就是目标函数(object function)。

目标函数如何确定呢？用我们上面的例子来讲，我们要判断病人是否得癌症，假设我们对上面的线性模型的值y^i进行了处理，将它规约到了0到1之间。我们的10万条训练数据中，得癌症的病人标签为1，没得的标签为0.那么显然，最佳的参数一定就是能够将得癌症的病人全预测为1，没得癌症的病人全部预测为0的参数。这几乎就是完美的参数！
因此，我们的目标函数可以设为MSE函数：obj = ∑_i (sigmoid(∑_jθ_j*x_ij) - y_i)^2

上面的函数的意思就是对第i条数据，将模型预测的值规约到0到1，然后与该条数据的真是标签值（0和1）做差，再求平方。这个平方值越大，表明预测的越不准，就是模型的预测误差，最后，我们将模型对10万条数据的预测误差求和。就得出了一组具体的参数的预测好坏的度量值。

果真这样就完美了吗？
不是的。上面的目标函数仅仅评测了参数对训练数据来说的好坏，并没有评测我们使用模型做预测时，这组参数表现好坏。也就是说，对训练数据来说是好的参数，未必在预测时就是好的。为什么？

• 一是10万条数据中有错误存在
• 二是10万条数据未必涵盖了所有种类的样本，举个极端的例子，假如10万条数据全是60岁以上老人的检查结果，我们用学习到的模型取预测一个10岁的小孩，很可能是不准的。

那么，怎么评测一组参数对预测是好是坏呢？
答案是测了才知道！

这不是废话吗。

事实就是这样。真实的预测是最权威的评判。但我们还是可以有所作为的，那就是正则化。

所谓正则化就是对参数施加一定的控制，防止参数走向极端。以上面的例子来说，假如10万条数据中，得癌症的病人都是60岁以上老人，没得癌症的病人都是30岁以下年轻人，检查结果中有一项是骨质密度，通常，老人骨质密度低，年轻人骨质密度高。那么我们学习到的模型很可能是这样的，对骨质密度这项对应的参数θ_j设的非常大，其他的参数都非常小，简单讲，模型倾向于就用这一项检查结果去判断病人是否得癌症，因为这样会让目标函数最小。

明眼人一看便知，这样的参数做预测肯定是不好的。

正则化可以帮助我们规避这样的问题。

常用的正则化就是L2正则，也就是所有参数的平方和。我们希望这个和尽可能小的同时，模型对训练数据有尽可能好的预测。

最后，我们将L2正则项加到最初的目标函数上，就得出了最终的目标函数：
obj = ∑_i(sigmoid(∑_j θ_j*x_ij) - y_i)^2 + ∑_j(θ_j^2)

能使这个函数值最小的那组参数就是我们要找的最佳参数。这个obj包含的两项分别称为损失函数和正则项。
这里的正则项，本质上是用来控制模型的复杂度。

Notes:
上面，我们为了尽可能简单地说明问题，有意忽略了一些重要的方面。比如，我们的例子是分类，但使用的损失函数却是MSE，通常是不这样用的。
对于回归问题，我们常用的损失函数是MSE，即：

 

回归.PNG

对于分类问题，我们常用的损失函数是对数损失函数：

 

分类.PNG

乍一看，这个损失函数怪怪的，我们不免要问，为什么这个函数就是能评判一组参数对训练数据的好坏呢？

我们用上面的例子来说明，假如有一条样本，它的标签是1，也就是y_i = 1，那么关于这条样本的损失函数中就只剩下了左边那一部分，由于y_i = 1，最终的形式就是这样的：

 

对数1.PNG

头上带一个小尖帽的yi就是我们模型的预测值，显然这个值越大，则上面的函数越倾向于0，yi趋向于无穷大时，损失值为0。这符合我们的要求。

同理，对于yi=0的样本也可以做出类似的分析。

至于这个损失函数是怎么推导出来的，有两个办法，一个是用LR，一个是用最大熵。具体的推导过程请参阅其他资料。

2、xgboost

既然xgboost就是一个监督模型，那么我们的第一个问题就是：xgboost对应的模型是什么？
答案就是一堆CART树。
此时，可能我们又有疑问了，CART树是什么？这个问题请查阅其他资料，我的博客中也有相关文章涉及过。然后，一堆树如何做预测呢？答案非常简单，就是将每棵树的预测值加到一起作为最终的预测值，可谓简单粗暴。

下图就是CART树和一堆CART树的示例，用来判断一个人是否会喜欢计算机游戏：

 

predict1.PNG

 

predict2.PNG

第二图的底部说明了如何用一堆CART树做预测，就是简单将各个树的预测分数相加。

xgboost为什么使用CART树而不是用普通的决策树呢？
简单讲，对于分类问题，由于CART树的叶子节点对应的值是一个实际的分数，而非一个确定的类别，这将有利于实现高效的优化算法。xgboost出名的原因一是准，二是快，之所以快，其中就有选用CART树的一份功劳。

知道了xgboost的模型，我们需要用数学来准确地表示这个模型，如下所示：

 

predict3.PNG

这里的K就是树的棵数，F表示所有可能的CART树，f表示一棵具体的CART树。这个模型由K棵CART树组成。模型表示出来后，我们自然而然就想问，这个模型的参数是什么？因为我们知道，“知识”蕴含在参数之中。第二，用来优化这些参数的目标函数又是什么？

我们先来看第二个问题，模型的目标函数，如下所示：

 

predict4.PNG

这个目标函数同样包含两部分，第一部分就是损失函数，第二部分就是正则项，这里的正则化项由K棵树的正则化项相加而来，你可能会好奇，一棵树的正则化项是什么？可暂时保持住你的好奇心，后面会有答案。现在看来，它们都还比较抽象，不要着急，后面会逐一将它们具体化。

3、训练xgboost

上面，我们获取了xgboost模型和它的目标函数，那么训练的任务就是通过最小化目标函数来找到最佳的参数组。

问题是参数在哪里？

我们很自然地想到，xgboost模型由CART树组成，参数自然存在于每棵CART树之中。那么，就单一的 CART树而言，它的参数是什么呢？
根据上面对CART树的介绍，我们知道，确定一棵CART树需要确定两部分，第一部分就是树的结构，这个结构负责将一个样本映射到一个确定的叶子节点上，其本质上就是一个函数。第二部分就是各个叶子节点上的分数。

似乎遇到麻烦了，你要说叶子节点的分数作为参数，还是没问题的，但树的结构如何作为参数呢？而且我们还不是一棵树，而是K棵树!

让我们想像一下，如果K棵树的结构都已经确定，那么整个模型剩下的就是所有K棵树的叶子节点的值，模型的正则化项也可以设为各个叶子节点的值的平方和。此时，整个目标函数其实就是一个K棵树的所有叶子节点的值的函数，我们就可以使用梯度下降或者随机梯度下降来优化目标函数。现在这个办法不灵了，必须另外寻找办法。

4、加法训练

所谓加法训练，本质上是一个元算法，适用于所有的加法模型，它是一种启发式算法。关于这个算法，我的另一篇讲GBDT的文章中有详细的介绍，这里不再重复，不熟悉的朋友，可以看一下。运用加法训练，我们的目标不再是直接优化整个目标函数，这已经被我们证明是行不通的。而是分步骤优化目标函数，首先优化第一棵树，完了之后再优化第二棵树，直至优化完K棵树。整个过程如下图所示：

 

predict6.PNG

在第t步时，我们添加了一棵最优的CART树f_t，这棵最优的CART树f_t是怎么得来的呢？非常简单，就是在现有的t-1棵树的基础上，使得目标函数最小的那棵CART树，如下图所示：

 

10.PNG

上图中的constant就是前t-1棵树的复杂度，再忍耐一会儿，我们就会知道如何衡量树的复杂度了，暂时忽略它。

假如我们使用的损失函数时MSE，那么上述表达式会变成这个样子：

 

11.PNG

这个式子非常漂亮，因为它含有f_t(x_i)的一次式和二次式，而且一次式项的系数是残差。你可能好奇，为什么有一次式和二次式就漂亮，因为它会对我们后续的优化提供很多方便，继续前进你就明白了。
注意：f_t(x_i)是什么？它其实就是f_t的某个叶子节点的值。之前我们提到过，叶子节点的值是可以作为模型的参数的。

但是对于其他的损失函数，我们未必能得出如此漂亮的式子，所以，对于一般的损失函数，我们需要将其作泰勒二阶展开，如下所示：

 

12.PNG

其中：

 

13.PNG

这里有必要再明确一下，gi和hi的含义。gi怎么理解呢？现有t-1棵树是不是？这t-1棵树组成的模型对第i个训练样本有一个预测值y^i是不是？这个y^i与第i个样本的真实标签yi肯定有差距是不是？这个差距可以用l(yi,y^i)这个损失函数来衡量是不是？现在gi和hi的含义你已经清楚了是不是？

如果你还是觉得抽象，我们来看一个具体的例子，假设我们正在优化第11棵CART树，也就是说前10棵 CART树已经确定了。这10棵树对样本(x_i,y_i=1)的预测值是y^i=-1，假设我们现在是做分类，我们的损失函数是

 

分类.PNG

在y_i=1时，损失函数变成了

 

image.png

我们可以求出这个损失函数对于y^i的梯度，如下所示：

 

image.png

将y^{i=-1代入上面的式子，计算得到-0.27。这个-0.27就是g_i。该值是负的，也就是说，如果我们想要减小这10棵树在该样本点上的预测损失，我们应该沿着梯度的反方向去走，也就是要增大y}i的值。也就是使得y^i趋向于正，因为我们的y_i=1就是正的。

来，答一个小问题，在优化第t棵树时，有多少个gi和hi要计算？嗯，没错就是各有N个，N是训练样本的数量。如果有10万样本，在优化第t棵树时，就需要计算出个10万个gi和hi。感觉好像很麻烦是不是？但是你再想一想，这10万个gi之间是不是没有啥关系？是不是可以并行计算呢？聪明的你想必再一次感受到了，为什么xgboost会辣么快！

好，现在我们来审视下这个式子，哪些是常量，哪些是变量。式子最后有一个constant项，聪明如你，肯定猜到了，它就是前t-1棵树的正则化项。l(yi, yi^t-1)也是常数项。剩下的三个变量项分别是第t棵CART树的一次式，二次式，和整棵树的正则化项。再次提醒，这里所谓的树的一次式，二次式，其实都是某个叶子节点的值的一次式，二次式。

我们的目标是让这个目标函数最小化，常数项显然没有什么用，我们把它们去掉，就变成了下面这样：

 

14.PNG

好，现在我们可以回答之前的一个问题了，为什么一次式和二次式显得那么漂亮。因为这些一次式和二次式的系数是gi和hi，而gi和hi可以并行地求出来。而且，gi和hi是不依赖于损失函数的形式的，只要这个损失函数二次可微就可以了。这有什么好处呢？好处就是xgboost可以支持自定义损失函数，只需满足二次可微即可。强大了我的哥是不是？

5、模型正则化项

上面的式子已然很漂亮，但是，后面的Ω(ft)仍然是云遮雾罩，不清不楚。现在我们就来定义如何衡量一棵树的正则化项。这个事儿并没有一个客观的标准，可以见仁见智。为此，我们先对CART树作另一番定义，如下所示：

 

16.PNG

需要解释下这个定义，首先，一棵树有T个叶子节点，这T个叶子节点的值组成了一个T维向量w，q(x)是一个映射，用来将样本映射成1到T的某个值，也就是把它分到某个叶子节点，q(x)其实就代表了CART树的结构。w_q(x)自然就是这棵树对样本x的预测值了。

有了这个定义，xgboost就使用了如下的正则化项：

 

17.PNG

注意：这里出现了γ和λ，这是xgboost自己定义的，在使用xgboost时，你可以设定它们的值，显然，γ越大，表示越希望获得结构简单的树，因为此时对较多叶子节点的树的惩罚越大。λ越大也是越希望获得结构简单的树。

为什么xgboost要选择这样的正则化项？很简单，好使！效果好才是真的好。

6、见证奇迹的时刻

至此，我们关于第t棵树的优化目标已然很清晰，下面我们对它做如下变形，请睁大双眼，集中精力：

 

18.PNG

这里需要停一停，认真体会下。Ij代表什么？它代表一个集合，集合中每个值代表一个训练样本的序号，整个集合就是被第t棵CART树分到了第j个叶子节点上的训练样本。理解了这一点，再看这步转换，其实就是内外求和顺序的改变。如果感觉还有困难，欢迎评论留言。

进一步，我们可以做如下简化：

 

19.PNG

其中的Gj和Hj应当是不言自明了。

对于第t棵CART树的某一个确定的结构（可用q(x)表示），所有的Gj和Hj都是确定的。而且上式中各个叶子节点的值wj之间是互相独立的。上式其实就是一个简单的二次式，我们很容易求出各个叶子节点的最佳值以及此时目标函数的值。如下所示：

 

20.PNG

obj*代表了什么呢？
它表示了这棵树的结构有多好，值越小，代表这样结构越好！也就是说，它是衡量第t棵CART树的结构好坏的标准。注意~注意~注意~，这个值仅仅是用来衡量结构的好坏的，与叶子节点的值可是无关的。为什么？请再仔细看一下obj*的推导过程。obj*只和Gj和Hj和T有关，而它们又只和树的结构(q(x))有关，与叶子节点的值可是半毛关系没有。如下图所示：

 

23.PNG

7、找出最优的树结构

好了，有了评判树的结构好坏的标准，我们就可以先求最佳的树结构，这个定出来后，最佳的叶子结点的值实际上在上面已经求出来了。

问题是：树的结构近乎无限多，一个一个去测算它们的好坏程度，然后再取最好的显然是不现实的。所以，我们仍然需要采取一点策略，这就是逐步学习出最佳的树结构。这与我们将K棵树的模型分解成一棵一棵树来学习是一个道理，只不过从一棵一棵树变成了一层一层节点而已。如果此时你还是有点蒙，没关系，下面我们就来看一下具体的学习过程。
我们以上文提到过的判断一个人是否喜欢计算机游戏为例子。最简单的树结构就是一个节点的树。我们可以算出这棵单节点的树的好坏程度obj*。假设我们现在想按照年龄将这棵单节点树进行分叉，我们需要知道：
1、按照年龄分是否有效，也就是是否减少了obj的值
2、如果可分，那么以哪个年龄值来分。

为了回答上面两个问题，我们可以将这一家五口人按照年龄做个排序。如下图所示：

 

29.PNG

按照这个图从左至右扫描，我们就可以找出所有的切分点。对每一个确定的切分点，我们衡量切分好坏的标准如下：

 

27.PNG

这个Gain实际上就是单节点的obj*减去切分后的两个节点的树obj*，Gain如果是正的，并且值越大，表示切分后obj*越小于单节点的obj*，就越值得切分。同时，我们还可以观察到，Gain的左半部分如果小于右侧的γ，则Gain就是负的，表明切分后obj反而变大了。γ在这里实际上是一个临界值，它的值越大，表示我们对切分后obj下降幅度要求越严。这个值也是可以在xgboost中设定的。

扫描结束后，我们就可以确定是否切分，如果切分，对切分出来的两个节点，递归地调用这个切分过程，我们就能获得一个相对较好的树结构。

注意：xgboost的切分操作和普通的决策树切分过程是不一样的。普通的决策树在切分的时候并不考虑树的复杂度，而依赖后续的剪枝操作来控制。xgboost在切分的时候就已经考虑了树的复杂度，就是那个γ参数。所以，它不需要进行单独的剪枝操作。

8、大功告成

最优的树结构找到后，确定最优的叶子节点就很容易了。我们成功地找出了第t棵树！撒花！！！