数据结构与算法|第七章：递归

数据结构与算法|第七章：递归

前言

递归是一种编程技巧，在许多数据结构和算法中都用了递归进行实现，如果要学习后面相对比较复杂的数据结构与算法，掌握递归非常重要。

1.项目环境

• jdk 1.8
• github 地址：https://github.com/huajiexiewenfeng/data-structure-algorithm
  • 本章模块：chapter06

2.什么是递归

我们先来看一个例子，比如我们在电影院看电影，想知道自己坐在第几排，但是电影院太黑没法自己数，于是我们问前面的人他在第几排，但是前面的人也不知道，所以他也问前面的人，依次类推，直到问到第一排的人，然后再一排一排的把数字传回来，每次加 1，最后你就知道具体在哪一排了。

这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去问的过程叫做 “递”，回答的过程叫做 “归”。

3.递归公式

大部分递归问题都可以用递归公式进行表示，以上面电影院的例子来说。递归公式如下：

$f(n)=f(n-1)+1$ 其中，$f(1)=1$

• $f(n)$ 表示我们想知道自己在哪一排
• $f(n-1)$ 表示前面一排所在的排数
• $f(1)=1$ 表示第一排的人知道自己在第一排

有了上面的公式，我们就可以写出递归的代码

    private static int f(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return f(n - 1) + 1;
    }

4.递归的条件

那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢？只要同时满足以下三个条件，就可以用递归来解决。

1.一个问题的解可以分解为几个子问题的解

何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。比如，前面讲的电影院的例子，你要知道，“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。

2.这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样

比如电影院那个例子，你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的。

3.存在递归终止条件

把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。

还是电影院的例子，第一排的人不需要再继续询问任何人，就知道自己在哪一排，也就是 $f(1)=1$，这就是递归的终止条件。

5.N阶楼梯问题

有了上面的理论，我们再分析一个递归的例子，假设有 n 个台阶，每次可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，走完这个 n 个台阶有多少种走法？

我们先分析最简单的

假设 n = 1，那么我们只有一种走法，走 1 个台阶。

假设 n = 2，那么我们只有两种走法，走两次 1 个台阶或者一次走 2 个台阶。

假设 n = 3，我们现在已经走了第一步了，如果第一步走了 1 个台阶，那么我们需要考虑剩下的 2 个台阶的走法，其实就是 n=2 的走法，如果第一步走了 2 个台阶，那么我们只能走一步，也就是 n=1的走法，所以可以得到公式：$f(3)=f(2)+f(1)$。

假设现在有 n 阶台阶，我们的走法，就是 n-1 阶的走法加上 n-2 阶的走法

用递归公式表示

$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$

有了递归公式，接下来我们需要找到递归终止的条件

终止条件有两个

• 最后一个台阶，$f(1)=1$
• 最后两个台阶，我们有两种走法，$f(2)=2$

最终的代码如下：

    private static int f(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        return f(n - 1) + f(n - 2);
    }

6.递归的改写

我们是否可以将递归代码改写成非递归代价呢？

6.1 电影院例子改写

    private static int f2(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res++;
        }
        return res;
    }

6.2 N阶楼梯改写

    private static int f2(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        int res = 0;
        int n_minus_1 = 2;// 假设 n=3,n-1=2 个台阶有2种走法
        int n_minus_2 = 1;// 假设 n=3,n-2=1 个台阶有1种走法
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            res = n_minus_1 + n_minus_2;
            n_minus_2 = n_minus_1;// 假设 n=4,第二次循环，4-2 = 2 有2种走法
            n_minus_1 = res;// 假设 n=4,第二次循环，4-1=3 有 3(上一次的2+1) 种走法
        }
        return res;
    }

通过上面两个例子可以看出，非递归的写法，不仅多出很多代码，而且非常难以理解，但是本质上和递归是一样的，只是"手动"进行递归。

7.小结

递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。

8.参考

• 《数据结构与算法之美》王争