通俗的理解矩阵分解的意义

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我们日常 喝的饮料 和 吃的药片  都是由一些 基本元素 调和而成的

比如：

我们列出以下公式 B:
可乐=0.07* 能量+ 0*蛋白质+0*脂肪+0.12* 碳水化合物 +0.02* 钠
雪碧=0.02* 能量+ 0*蛋白质+0*脂肪+0.04* 碳水化合物 +0.01* 钠
芬达=0.02* 能量+ 0*蛋白质+0*脂肪+0.04* 碳水化合物 +0.01* 钠
   
    如果 把可乐和 雪碧，芬达 看成3种 高级成分
      
    我们就可以立刻发明多种新的饮料：比如  可雪，乐碧
    
    这两种饮料的配料成分明细如下 公式A：
    可雪=0.7 *可乐+0.3* 雪碧+0*芬达
    乐碧=0.4 *可乐+0.6* 雪碧+0*芬达
 
    我们可以这样理解：
    现实中的 物品（可雪，乐碧） 都有 一组高级成分(可乐，雪碧，芬达)组成，
    而这些高级成分又可以分级为 次级成分（能量，蛋白质，脂肪， 碳水化合物， 钠）

    如果 我们想知道  可雪 的具体成分含量（能量，蛋白质，脂肪， 碳水化合物， 钠）， 只需要将 A和B 进行矩阵乘法即可
    结果应该是 2行 5列的矩阵C，C 表示了可雪 和 乐碧 的具体成分含量
    计算过程如下：

假设现在 我们知道矩阵C  现在想把矩阵C 分解成矩阵A 和 B
这样的话 我们把 A 叫做 高阶特征权重矩阵，即 （可雪，乐碧）  由 高阶特征(可乐，雪碧，芬达)线性组合而成 ,
B 叫低阶特征权重矩阵 (可乐，雪碧，芬达) 由 （能量，蛋白质，脂肪， 碳水化合物， 钠）线性组合而成


如果换成自然语言处理原理同上(例子有点不太适合，理解意思即可)：

在自然语言处理和推荐系统中 我们一般能够直接得到矩阵 C ,C 是非常稀疏的，我们想把C 分解成 高阶特征的线性组合，这样便于分类和预测
这就是为什么要将大矩阵进行分解。
常见的分解方式 有PCA,SVD ,NMF矩阵分解。


参考文章：《数学之美 第二版》 第15章  矩阵运算和文本处理中的两个分类问题
                《集体智慧编程》    第10章  寻找独立特征_NMF
                 《线性代数及其应用》