【周赛总结】给房子涂色 III——三维DP

2020/06/07 rank 561 / 3614 AC：3/4

重点讲解最后一题，是一道三维DP问题，关键还是在于想清楚，什么是状态，状态如何定义。状态的转换方法。

首先我们不能把题目想的过于复杂，题目的本质最多就是一个dp问题，我们还是可以从左往右依次进行染色。这道题目做的时候复杂是因为题目给了多个限制，一个是要求得到满足的分类，同时还需要保持成本最小的要求。

坑神在讲解里面提到，“限制给的越死，dp的状态越容易定义” 我们可以思考下，这个问题涉及到了那些东西。状态一定是由性质组成的，我们需要分析清楚，每一个状态下，存在哪些性质。

首先，我们依次进行染色，因此肯定是存在一个第i个房子这个参数，其次我们还需要知道当前已经组成了几个街区了j，并且我们在添加新的染色时候，还需要知道前一个房子的颜色，这样我们才可以定义刷颜色时候，是否增加了新的街区。

状态的定义

因此我们定义dp为，dp[i][j][k]表示在刷完第i个房子时，已经有了j个街区，并且前一个房屋的颜色为k。

状态的转换

我们需要枚举每次刷的颜色和上一个房子的颜色，需要注意一点也是题目中复杂的地方，部分房屋已经有了颜色。

• 对于有颜色的房屋，我们只枚举上一个房子的颜色，因为当前房子的颜色时固定的，同时代价为0。分别考虑上一个房子的颜色与当前的颜色是否一样，dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j][u])或者dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][u])
• 对于没有颜色的房屋，我们外层循环当前的打算涂的颜色，内层循环前一个房子可能的颜色。

状态的初始化

我们前面已经给出了状态dp[i][j][k]我们思考每个的维度，首先房子个数最大为m，街区最大也为m，颜色个数为n。因此我们在生成数组时dp = [[[float('inf')]*(1+n) for _ in range(m+1)]for _ in range(m)].

另外就是初始化的问题，我们还是考虑了float('inf')作为一种不可能事件，唯一需要修改的就是为第一个房子的信息。

代码

class Solution:
    def minCost(self, houses: List[int], cost: List[List[int]], m: int, n: int, target: int) -> int:
        # dp[i][j][k] 第 i 个房子， 已经有 j 个街区， 染成 k 颜色
        dp = [[[float('inf')]*(1+n) for _ in range(m+1)]for _ in range(m)]
        if houses[0] == 0:
            for j in range(1,n+1):
                dp[0][1][j] = cost[0][j-1]
        else:
            dp[0][1][houses[0]] = 0

        for i in range(1,m):
            for j in range(1, target+1):
                k = houses[i]
                if k != 0:
                    for u in range(1,n+1):
                        if u == k:
                            dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j][u])
                        else:
                            dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][u])
                else:
                    for k in range(1,n+1):
                        for u in range(1,n+1):
                            if u == k:
                                dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j][u]+cost[i][k-1])
                            else:
                                dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][u]+cost[i][k-1])
        ans = float('inf')
        for i in range(1,n+1):
            ans = min(dp[m-1][target][i], ans)
        if ans == float('inf'):
            return -1
        return ans