最长上升子序列 (LIS) 模板【DP 、二分+贪心】

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什么是最长上升子序列

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence），简称LIS，也有些情况求的是最长非降序子序列，二者区别就是序列中是否可以有相等的数。一个数的序列bi，当b1

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1281：最长上升子序列

• 题意:对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

DP解法

• 参考视频：动态规划(最长上升子序列LIS)

• dp[i]表示以a[i]结尾的LIS长度
  LIS=max{ f(i) }
  状态转移方程：f(x)=max{ f ( p ) }+1 其中 p

• 时间复杂度是O(n²)

代码

#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int dp[N],a[N],n,ans=-1;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			if(a[j]<a[i])
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;	
} 

二分+贪心 解法

• 参考视频：最长上升子序列
• 用数组f[i]来存放该最长上升子序列(但不一定是正确的)，则数组的长度即为所求
• 对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长
• 依次枚举每个元素，若该元素大于f的最大数（即最右的数）则直接把该元素放在最右边，否则二分找出f中从左到右第一个大于等于该元素的数进行替换
• 时间复杂度是O(nlogn)

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
const int INF=0x7f7f7f;
int f[N],a[N],n,ans=0;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	f[0]=INF;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i]=INF;
	}
	f[++ans]=a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(a[i]>f[ans])
		{
			f[++ans]=a[i];
			continue;
		}
		int l=1,r=ans,t;
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if(f[mid]>=a[i])
			{
				t=mid;r=mid-1;
			}
			else l=mid+1;
		}
		f[t]=a[i];
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;	
} 

使用二分查找函数代码

• lower_bound(起始地址，结束地址，要查找的数值)
  返回第一个大于等于所要查找的元素的地址
  适合求一个数组里比该数小的个数

#include
#include
#include
using namespace std;
const int INF=0x7f7f7f;
const int N=1010;
int f[N],a[N],n,ans=0;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	f[0]=INF;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i]=INF;
	}
	f[++ans]=a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(a[i]>f[ans])
		{
			f[++ans]=a[i];
			continue;
		}
		int pos=lower_bound(f+1,f+1+ans,a[i])-f;
		f[pos]=a[i];
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;	
}