如何理解映射的概念

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现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时，另一个量随着起变化.函数是研究各个量之间确定性依赖关系的数学模型.函数是高中的重要概念，也是高中数学的一个线索。而函数是映射的特例。映射可以让我们站在函数之上看函数的一个观念。接下来我们来学习这个概念。

观察

（1）同学们进入新的学校学习，开学初要分配座位：给一个班的每一位同学指定这个班的教室里唯一一把椅子.
（2）住校的同学还要分配宿舍：给全校的每一位住校生指定学生宿舍区里唯一
一个房间.

分析

（1） 两个集合：
A=｛一个班的学生}，
B=这个班的教室里的椅子}；
一个对应法则：使得集合A的每一个元素，有集合B的唯一确定的元素与它对应。
（2）两个集合：
C=｛一个学校的住校生}，
D=｛这个学校的学生宿舍区的房间}；
一个对应法则，使得集合C的每一个元素，有集合D的唯一确定的元素与它对应.

抽象

从上述这种类型的例子我们引出下述概念.
定义 设A和B是两个集合，如果存在一个对应法则f，使得集合A中每一个元素a，都有集合B中唯一确定的元素b与它对应，则称f是A到B的一个映射（map，mapping），记作

其中b称为a在f下的像（image），a称为b在f下的一个原像（preimage）.a在f下的像用符号f（a）表示，于是映射f也可以记成

说一说

上述第一个例子中，分配座位（用f表示）是集合A到集合B的一个映射.如果李明同学的座位是第三排第5号，那么李明在f下的像是___；第三排第5号那把椅子在f下的一个原像是___，有___个原像

上述第二个例子中，分配宿舍（用g表示）是集合C到集合D的一个映射.如果李明同学分到102号房间，那么李明在g下的像是___；102号房间在g下的一个原像是___.如果102号房间住了6个同学，那么102号房间在g下有___个原像.

练习

1.设
A=｛开，关｝，B=｛0，1}，你能建立集合A到集合B的一个映射吗？
2.一个饭店里有4位顾客坐在一张餐桌周围，服务员小王用茶盘端来4杯茶，小王应该怎样摆放这4杯茶才正确？用A表示这4位顾客组成的集合，用B表示这4杯茶组成的集合，正确摆放这4杯茶是不是集合A到集合B的一个映射？

说明：
1.我是根据丘维声老师的中专数学教材来写这个教程的，可以说是摘抄丘老师的教材，丘老师对数学思维的观点对我影响颇深，虽然我没有上过他的课，但他是我敬重的老师。

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2.以前读过一位韩国人写的《千万别恨数学》书中提到骨架式学习，我也很赞同。

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3.我也想用漫画+图解的方式来写这个教程，但是现在力有不逮。这个想法源于下面的这本书

7天搞定微积分
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作者: 石山平 /大上丈彦

作者说：数学讲解的不是词汇、不是旋律，而是概念。我觉得说出了数学的真谛，学数学一定要重视概念。

用时：48分钟