位运算基础

基础知识和算法合集：https://blog.csdn.net/GD_ONE/article/details/104061907

1.什么是位运算

 位运算又称为位操作，指的是直接对二进制位进行的一系列操作。

2.位运算有哪些

1. AND( & )
   按位与
   1 & 1 = 1
   1 & 0 = 0
   0 & 0 = 0
   1101 & 1100 = 1100

2. OR( | )
   按位或
   1 | 1 = 1
   1 | 0 = 1
   0 | 0 = 0
   1001 | 1010 = 1011

3. XOR( ^ )
   按位异或
   1 ^ 1 = 0
   0 ^ 0 = 0
   1 ^ 0 = 1
   0 ^ 1 = 1
   1101 ^ 1100 = 0001

4. NOT( ~ )
   取反
   ~1 = 0
   ~0 = 1
   ~0111 = 1000
   另：& | ^ ~ 是c或类c的编程语言中所用的位操作符。 除了~是单目运算符
   其余的三个都是双目运算符。

5. 移位运算

   • 左移运算符: <<

     在二进制表示下把数字同时向左移， 低位以0填充， 高位越界后舍弃。

   • 右移运算符: >>
     右移运算又分为算术右移和逻辑右移。

     • 算术右移：

       在二进制补码表示下，把数字同时向右移位，高位以符号位填充，低位越界后舍弃。

       对于 n >> 1 在C/C++中相当于 n/2 下取整。

     • 逻辑右移：

       在二进制补码表示下把数字同时向右移动，高位以0填充，低位越界后舍弃。

       C++并没有规定右移的方式，所以编译器不同，可能实现的方式也不一样。
       不过说了这么多，总结下来其实就是:
       00001 << 2 = 00100
       00100 >> 2 = 00001

3.常用的位运算操作

1. (n>>k) &1 取出整数n在二进制表示下的第k位

2. n & ((1 << k) - 1) 取出整数n在二进制表示下的第0~k-1位(后k位)

3. n ^ (1 << k) 把整数n在二进制表示下的第k位取反

4. n | (1 << k) 把整数n在二进制表示下的第k位赋值为1

5. n & (~(1 << k)) 把整数n在二进制表示下的第k位赋值为0

6. n ^ (1 << k) = n - (1<

7. 除以2
   a / 2 = a >> 1
   a + b / 2 == a + b >> 1 ( + - 运算的优先级高于 <<, >> )

8. 判断奇偶
   一个数的二进制数的最低位如果是1 则该数一定是奇数 否则一定是偶数
   所以 用 a & 1 检测最低为是否位1

   if(a & 1) cout<<"奇数";
   else cout<<"偶数" 
   

9. 快速幂

10. 状态压缩
    以一个二进制数表示一个状态集合。
    如 n = 1100 S = {2, 3} S表示状态所有为1的集合。

11. 成对变换

    当n 为偶数时 n ^ 1 = n + 1
    当n为奇数时 n ^ 1 = n - 1
    所以
    (0,1) (2, 3) (4, 5)… 关于 ^1 运算 构成“成对变换”
    这一性质常用于图论邻接表中边集的存储。在具有无向边（双向边）的图中把一对正反方向的边分别存储在邻接表数组中的第n和第n+1位置（n为偶数），就可以通过^1
    的运算获得与当前边（x, y） 反向的边（y, x）的存储位置。
    摘自<<算法竞赛进阶指南>>

12. lowbit运算

    lowbit(n) 定义为非负整数n在二进制表示下"最低为1及其后边所有0"构成的数值. 例如 n = 10
    的二进制表示为(1010)₂, 则lowbit(n) = 2 = (10)₂ .
    lowbit(n) = n & (~n + 1) = n&(-n)
    摘自<<算法竞赛进阶指南>>