素数筛法详解

我们直接抓住素筛的核心：

定理: 如果n不是素数, 则n有满足1 证明:
I1. 如果n不是素数, 则n有满足1 I2. 如果d是素数, 则定理得证, 算法终止.
I3. 令n=d, 并转到步骤I1.
由于不可能无限分解n的因子, 因此上述证明的算法最终会停止.
代码:

// primes[i]是递增的素数序列: 2, 3, 5, 7, ...
// 更准确地说primes[i]序列包含1->sqrt(n)范围内的所有素数
// 如何高效构造primes[]？需要多少个素数才能判断2^31-1内的所有素数？一会会有说明


int isPrime(int primes[], int n)
{
    if(n < 2) return 0;


    for(int i = 0; primes[i]*primes[i] <= n; ++i)
        if(n % primes[i] == 0) return 0;//对应上述“n有素因子，n是合数”


    return 1;
}

构造素数序列primes[i]: 2, 3, 5, 7, ...
由4的算法我们知道, 在素数序列已经被构造的情况下, 判断n是否为素数效率很高;
但是, 在构造素数序列本身的时候, 是否也可是达到最好的效率呢?
事实上这是可以的! -- 我们在构造的时候《《完全可以利用已经被构造的素数序列!》》
假设我们已经我素数序列: p1, p2, .. pn
现在要判断pn+1是否是素数, 则需要(1, sqrt(pn+1)]范围内的所有素数序列,
而这个素数序列显然已经作为p1, p2, .. pn的一个子集被包含了!

// 构造素数序列primes[]

void makePrimes(int primes[], int num)
{
    int i, j, cnt;
    
    primes[0] = 2;
    primes[1] = 3;
    
    for(i = 5, cnt = 2; cnt < num; i += 2)//cnt为primes下标，i+=2筛去了偶数
    {
        int flag = 1;
        for(j = 0; primes[j]*primes[j] <= i; ++j)
        {
            if(i%primes[j] == 0)
            {
                flag = 0; break;
            }
        }
        if(flag) primes[cnt++] = i;
    }
}

当前的主流PC中, 一个整数的大小为2^32. 如果需要判断2^32大小的数是否为素数,
则可能需要测试[2, 2^16]范围内的所有素数(2^16 == sqrt(2^32)).
在对[2, 2^16]范围内的素数进行统计, 发现只有6542个素数:
p_6542: 65521, 65521^2 = 4293001441 < 2^32, (2^32 = 4294967296)
p_6543: 65537, 65537^2 = 4295098369 > 2^32, (2^32 = 4294967296)（在实际运算时unsigned long x = 4295098369;将发生溢出, 为131073）
分析到这里我们可以看到, 我们只需要缓冲6543个素数, 我们就可以采用上述算法高效率地判断[2, 2^32]如此庞大范围内的素数!
(原本的2^32大小的问题规模现在已经被减小到6543规模了!)