算法导论7.4-5

题目：

当输入数据已经“几乎有序时”，插入排序很快，在实际应用中，我们可以利用这一特点来提高快速排序的速度。当对一个长度小于k的子数组调用快速排序时，让它不做任何排序就返回。当上一层的快速排序调用返回后，对整个数组运行插入排序完成排序过程。证明：这一排序算法的期望时间复杂度为O(nk+nlg(n/k)).

解决方案：

 quicksort在递归到只有几个元素大小的数组时开始用插入排序的方法。改进的快速排序方法在

期望时间=原始快排的期望时间+插入排序方法的期望时间。

这里还是要用到7.4（算法导论第7章）的分析方法。对于快排还要计算期望比较次数。

因为被划分在同一个小数组k中的元素，是不会在快排里比较的。所以Xij只要计算那些i和j相差k-1个以上的元素比较就可以了。

定义一个元素集合Zij={zi,zi+1,,,,,,,,zj}

定义一个指示器随机变量Xij=I{zi与zj进行了比较}

E[Xij]=Pr[Xij]=Pr{zi与zj进行了比较}=Pr{zi是Zij的主元}+Pr{zj是Zij的主元}=2/(j-i+1)//因为在快排中，二者能够比较，则其中一个必是主元

快速排序的期望比较次数E[Xij]为

那么快排的期望时间是O(nlg(n/k))，假设优化后的快排产生的小数组大小O(k)，在每个大小O(k)的小数组里使用插入排序，时间复杂度为O(k^2),总共有O(n/k)个小数组，则插入排序时间为O(nk)，。那么把这些时间加起来就是O(nk+nlog(n/k))。