斐波那契(gcd+矩阵快速幂)

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题目描述

定义斐波那契数列F[0]=0, F[1]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=2)
小猪很喜欢这个数列，她听说你可以求F[n] mod 998244353，觉着很厉害，于是她会进行多次询问，每次询问给出五个整数n,a,b,c,d，她希望你求出gcd(a*F[n]+b*F[n+1],c*F[n]+d*F[n+1]) mod 998244353.

输入

第一个一个正整数q，表示询问数

输出

q行，每行一个[0,998244352]的非负整数，表示询问的答案。

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3
1 2 3 5 5
10 5 3 4 2
8 10 6 4 3

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5
2
6

提示

数据范围：
对20%的数据，n<=10
对另外10%的数据，b=d=0
对于另外20%的数据，b=c=0
对于100%的数据，1<=q<=100000,1<=n<=1018, 0<=a,b,c,d<=1000, a+b>=1,c+d>=1

 

预备知识：1. gcd(x, y) = gcd(y, x - ky) (k >= 0)

                  2. gcd(x, y) = gcd(y, x % y)

                  3. gcd(f[n], f[n + 1]) = 1

原式：gcd(a * f[n] + b * f[n + 1], c * f[n] + d * f[n + 1])

把d * f[n + 1]去掉

设b = k * d + x

原式 = gcd(a * f[n] + (k * d + x) * f[n + 1], c * f[n] + d * f[n + 1])

        = gcd(c * f[n] + d * f[n + 1], (a - c * k) * f[n] + x * f[n + 1]) (根据1知识点)

此时，a' = c, b' = d, c' = a - c * k, d' = x

通过上述继续消除d'f[n + 1]，直到d' == 0为止

此时原式 = gcd(a' * f[n] + b' * f[n + 1], c' * f[n])

现在我们考虑几种情况:

     1. 如果c' == 0, 原式 = gcd(a' * f[n] + b' * f[n + 1],  0) = a' * f[n] + b' * f[n + 1], 直接矩阵快速幂求出f[n]和f[n + 1]即可

     2. 如果b' == 0, 原式 = gcd(a' * f[n], c' * f[n]) = f[n] * gcd(a', c')，f[n]通过矩阵快速幂求出即可

     3. c' ！= 0 && b' ！= 0 时:

            我们来推一个式子

               首先 gcd(a' * f[n] + b' * f[n + 1], f[n])

                       = gcd(b' * f[n + 1], f[n])（根据知识点1）

                       = gcd(b', f[n]) (根据知识点3)

                       = gcd(b', f[n] % b') (根据知识点2) 

            我们令 t = gcd(a' * f[n] + b' * f[n + 1], f[n]) 

            那么 gcd(a' * f[n] + b' * f[n + 1], c' * f[n])

                    =   

                    =  

                    =  gcd ((a' * f[n] + b' * f[n + 1]) % (t * c'), t * c')

            最后直接矩阵快速幂求出f[n]和f[n + 1]即可

注意取模不同，和负数的情况，以及卡常

推荐使用gcd如下

LL gcd(LL a, LL b){
    if(a < 0) a =- a;
    if(b < 0) b =- b;
    if(a && b)
        while(a %= b ^= a ^= b ^= a);
    return a + b;
}

完整代码：

/**/
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include