理论基础 —— 二叉树

【二叉树的定义】

二叉树（ binary tree）是 n 个结点的有限集合，该集合或为空集（空二叉树），或由一个根结点与两棵互不相交的，称为根结点的左子树、右子树的二叉树构成。

二叉树的特点是：

• 每个结点最多有两棵子树，故二叉树中不存在度大于 2 的结点
• 二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒，即使树中的某个结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

二叉树具有以下 5 种基本形态：

【特殊的二叉树】

在实际应用中，常会用到以下几种特殊的二叉树。

1.斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树称为左斜树，所有的结点都只有右子树的二叉树称为右斜树

在斜树中，每层只有一个结点，因此斜树的结点个数与其深度相同

2.满二叉树

在一棵二叉树中，若所有的分支结点都存在左子树和右子树，且所有的叶子都在同一层上，则称为满二叉树。

其特点是：

• 叶子只能出现在最下一层
• 只有度为 0、度为 2 的结点

由于满二叉树的特性可知：满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数、叶结点个数最多。

3.完全二叉树

对一棵具 n 个结点的二叉树按层序编号，若编号为 i 的结点与同样深度的满二叉树中编号 i 的结点在二叉树中的位置完全相同，则称为完全二叉树，那么显然有：满二叉树是完全二叉树

其特点是：

• 叶结点只能出现在最下两层，且最下层的叶结点都集中在二叉树左侧连续的位置
• 若有度为 1 的结点，只可能有一个，且其只有左孩子
• 深度为 k 的完全二叉树在 k -1 层上行一定是满二叉树

简单来说，在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个的结点，即是一棵完全二叉树

【二叉树的性质】

1.二叉树的第 i 层上行最多有  个结点

2.在一棵深度为 k 的二叉树中，最多有  个结点，最少有 k 个结点

推论：深度为 k 且具  个结点的二叉树一定是满二叉树，但深度为 k 具有 k 个结点的二叉树不一定是斜树

3.具有 n 个结点的二叉树，其分支数：B=n-1，对于任意一个结点，每度贡献一个分支，即：度为 0 的结点贡献 0 个分支，度为 1 的结点贡献 1 个分支，度为 2 的结点贡献 2 个分支。

4.在一棵二叉树中，若叶结点个数为 ，度为 2 结点个数为 ，那么有：

5.具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 

6.对一棵具有 n 个结点的完全二叉树，从 1 开始按层序编号，则对于任意编号 i 的结点，有：

• 若 i=1，则：结点 i 为根节点；若 i>1，则：结点 i 的父结点编号为 
• 若 2i<=n，则：结点 i 的左孩子编号为 2i；若 2i>n，则结点 i 无左孩子
• 若 2i+1<=n，则：结点 i 的右孩子编号为 2i+1；若 2i+1>n，则结点 i 无右孩子

【二叉树的遍历】

二叉树中最基本的操作是遍历。

二叉树的遍历是从根节点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点仅被访问一次。

根据二叉树的定义可知：一棵二叉树由根节点、根节点的左子树、根节点的右子树三部分构成，因此只要递归的遍历这三部分即可遍历整棵树。

二叉树的遍历通常分为四种方式：

• 前序遍历：先访问根结点，再前序遍历根节点的左子树，然后再前序遍历根节点的右子树（根左右）
• 中序遍历：先中序遍历根结点的左子树，再访问根节点，然后再中序遍历根结点的右子树（左根右）
• 后序遍历：先后序遍历根结点的左子树，再后序遍历根结点的右子树，然后再访问根结点（左右根）
• 层次遍历：从根节点开始，按层次从小到大逐个访问，同一层次按照从左到右的次序

二叉树遍历的性质：

• 已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以确定唯一的一棵二叉树
• 已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以确定唯一的一棵二叉树

【二叉树的存储结构】

二叉树的存储结构分为：顺序存储结构、二叉链表、三叉链表、线索链表等，其各有优劣，在应用时应根据实际情况灵活使用。

• 顺序存储结构：点击这里
• 二叉链表：点击这里
• 三叉链表：点击这里
• 线索链表：点击这里

【树、森林、二叉树的转换】

从树的孩子兄弟表示法和二叉树的二叉链表表示法可以看出，树的孩子兄弟表示法实质上是二叉树的二叉链表存储形式，因此，从物理结构上来看，两者是相同的，只是解释不同。

因此，以二叉链表为媒介，可导出树与二叉树间的对应关系，也就是说，给出一棵树，可以找到一棵唯一的二叉树与之对应，这样一来，对树的操作即可借助二叉树的存储，利用二叉树上的操作实现。

具体内容：点击这里

【哈夫曼树及哈夫曼编码】

哈夫曼树（Huffman Tree）又称最优二叉树，而哈夫曼编码（Huffman Coding）又称最优编码，是一种编码方式，属于可变字长编码（VLC）一种，其根据字符出现的概率来构造异字头的平均长度最短的码字。

哈夫曼树与哈夫曼编码是二叉树的经典应用，在实际中有着广泛的应用。

具体内容：点击这里