对偶四元数表示空间旋转和平移

常规四元数只能表示空间旋转变换，它的数学形式为q = [cos(θ/2) nxsin(θ/2) nysin(θ/2) nzsin(θ/2)]，其中单位向量[nx ny nz]表示通过原点的旋转轴，θ表示旋转角度。对偶数的概念类似于复数，它的数学形式为ẑ = r + dε并满足ε2 = 0，其中r和d分别表示实部和对偶部，ε表示对偶算子。对偶四元数是实部和对偶部都为四元数的对偶数，又可称为八元数。常规四元数只能表示空间旋转，而对偶四元数可以表示空间任意旋转和平移的组合。

　　对偶四元数的数学形式为：

其中qr和qd都为四元数，ε表示对偶算子。

　　利用旋转和平移信息计算对偶四元数的方法如下：

其中r代表旋转单位四元数，t代表平移四元数，t = [0 tx ty tz]。

　　利用对偶四元数计算旋转和平移的方法如下：

 

　　当对偶四元数仅表示空间旋转变换时，其表达式为：

　　当对偶四元数仅表示空间平移变换时，其表达式为：

　　利用对偶四元数对点p进行转换后得到点p’：

其中q和q*分别代表对偶四元数及对应的共轭对偶四元数。

更详细的对偶四元数基础理论 https://wenku.baidu.com/view/e361f52f7fd5360cbb1adb1a.html