最小割（uva1515-水塘）

输入一个h行w列的字符矩阵，草地用“#”表示，洞用“.”表示。你可以把草改成洞，每格花费d，也可以把洞填上草，每格花费f。最后还需要在草和洞之间修围栏，每条边花费b。整个矩阵的第一行/列，最后一行/列必须都是草。求最小花费。2<=w,h<=50 1<=d,f,b<=10000

想要理解这道题的解法，首先需要建立正确的“割”的概念。
事实上，这道题纠正了我对“割”的理解……

关于割的讨论

以下摘自算法导论
流网络G=(V,E)中的一个切割(S,T)将结点集合V划分为S和T=V-S两个集合，使得s∈S，t∈T。
切割(S,T)的容量是:

算法导论中定义了s-t割，即流网络中的源点s要在S集中，汇点t要在T集中。我们给出一个流网络，除了源点s和汇点t，还有a、b、c三个中间结点。
算法导论中是从点的角度定义割的，而我们应用时一般从边的角度考虑，即用割断的边的集合表示一个割。
那么问题来了，如下图所示，我们割断了边s→a、b→c，使得s和t不连通，那么边集{s→a，b→c}是这张网络图的割吗？

这是一个割吗？

它并不是一个割，如果我们定义割集是组成割的容量的边的集合的话。由我们对割的一般认知，去掉割中的所有边，则S、T集不连通（确切地说，S无法连向T，而T可以连向S，这是割的容量的定义所内含的），所以对于这张图，显然S={s、a、b}，T={c、t}，如此s→a这条边就是S集内部的，不是横跨S、T的边，不是割的流量的组成部分。

去掉它，正确的割如下图：

正确的割1

或者在割中新加入一条边b→a：

正确的割2

这个割有一点奇怪，虽然我们把所有点划分成了S集{s、b}，T集{a、c、t}，并且割断且仅割断了所有满足"u∈S,v∈T"的边u→v，但是点a与汇点t却不连通！

事实上，割的定义中从来就没有说过，T集中的点都能流向汇点t，或者源点s能流向S集中的所有点。

换个角度来理解，每当你选择一条有向边u→v割断时，u及所有流向u的点将被自动地划入S集，v及v流向的所有点被自动地划入进T集。如此切割若干条边后使得最终的图逻辑自洽，即没有哪个点既属于S也属于T（在第一幅图中，a就是一个逻辑矛盾的点），这样的一个切割边集，才是一个正确的割。

用最大流算法跑出的最小割当然也是一个正确的割，而且是所有正确的割中容量最小的那一个。

回到题目上来

题目可以这样理解：每个格子是一个结点，整张图是一张有向图（流网络），每个格子拥有指向它上下左右4个邻居的4条有向边。我们需要把所有的格子划分成两个阵营：“草”或“洞”，并且选择一些边建立围栏（割断），使得“草”中的任何一点不能流向“洞”中任何一点，反之亦然。
这里有一点需要注意，我们建模时两个结点之间有一来一回两条边，所以建围栏时相当于这两条边同时割断了，因此我们不妨将目标修改为：割断一些有向边，使得“草”中任一点不流向“洞”中任何点，而不必关心“洞”中的点能否流向“草”中的点。这样做的极大好处在于：对于一对相邻点u、v，如果将u划分为草，v划分为洞，那么就割断u→v，反之就割断v→u。
为了建立最小割模型，引入源点s，将它连向所有初始的草点，并设这些边容量为d（草转洞的代价），引入汇点t，将所有初始的洞点连向它，容量设为f（洞转草的代价），并把之前建立的那些网格图上的有向边的容量设为b（建围栏的代价）。跑s-t最小割，所得最小割的容量即是最小总代价。
为什么呢？每当割断一条邻居间的边时，就做了一次决策（哪边划入草，哪边划入洞），每一组对于全局的决策都能够确定出一个割出来，不会遗漏情况。另一方面，由于s连向所有初始的草，如果它在决策中被划入洞，那么s连向它的边就一定会被切断，否则这个割是不自洽的，转换的代价也即是这条边的容量就因此被计算进去了。