圆面、球面上的采样方法

（本文内容主要来自《pbrt》13.5、13.6）
如果$y$满足概率密度分布$p(y)$，如果要随机地获取一个$y$的话，可以先获取一个随机数$t$，然后代入它的累积概率密度$P(y)=t$，然后求解出$y$即可。
但是很多情况需要的不仅是对单个变量做采样，往往需要对多个维度下的多个变量进行采样，而这些多个变量之间很有可能有互相关联，并且直接采样也不容易，可以考虑做一些变换来进行采样。

一切推导从一个最基本的式子出发，$y$和$x$的累积概率密度$CDF$相同，$$P\{Y<=y(x)\}=P\{X<=x\}$$
因此$P_y(Y)=P_x(X)$
两边做一下微分即可得：$p(y)dy/dx=p(x)$
那么如果y和x都是多维的情况，很容易就可以得到$p(y)J_y(x)=p(x)$，$J_y(x)$是$y$关于$x$的雅克比行列式。

具体的例子：
1.圆面上进行均匀采样。
圆面上的任何一点可以由直角坐标系下的$(x,y)$表达，也可以由极坐标系下的$(r,\theta )$来表达，并且存在关系：$$x=rcos\theta ，y=rsin\theta$$$$J=\left|\begin{array}{cc}cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{array}\right|=r$$
因此可以得到关系$rp(x,y)=p(r,\theta )$
由于要求在圆面上进行均匀采样，也就是说每一点被采到的概率都应该相同，$p(x,y)=1/\pi$，那么$p(r,\theta )=\frac{r}{\pi }$，进一步可以得到$p(r)={\int }_0^{2\pi }\frac{r}{\pi }d\theta =2r$
由此$p(\theta |r)=p(r,\theta )/p(r)=\frac{1}{2\pi }$
这个结果可以看出$\theta$和$r$是互相独立的，因此可以分别获取两个随机数$a,b$，最终的采样结果为：$$r=\sqrt{a},\theta =2\pi b$$

2.半球面上对立体角做均匀采样
立体角被定义为单位球面上的单位面积，于是$dw=dA=sin\theta d\theta d\varphi$（dA为单位球上的微元面积），因此$p(w)sin\theta =p(\theta ,\varphi )$
而要求对立体角做均匀采样，于是$p(w)=\frac{1}{2\pi }$
即$p(\theta ,\varphi )=sin\theta /2\pi$
进一步$p(\theta )={\int }_0^{2\pi }sin\theta /2\pi d\varphi =sin\theta$
于是$p(\varphi |\theta )=\frac{1}{2\pi }$
可取两个随机数$a,b$，这样可以得到$\varphi$和$\theta$：$$\varphi =2\pi a,\theta =co{s}^{-1}b$$
进一步代入直角坐标系可以得到$x,y,z$

3.半球面上对立体角做Cosine-Weighted采样
Cosine-Weighted采样指的是立体角方向与竖直方向夹角的余弦值越高，那么该立体角被采样得到的概率就越大的一种采样方式。
也就是说$p(w)=cos\theta \cdot c$，其中$c$是一个常系数
由于对整个半球面做积分，得到值应该为1：$${\int }_{H^2}c\cdot cos\theta dw=1$$
代入计算可以得到$c=\frac{1}{\pi }$，直接使用2的推导可以得到$$p(\theta ,\varphi )=p(w)sin\theta =\frac{sin\theta cos\theta }{\pi }$$
继续往后推导就可以得到具体采样的公式。

但是这里有一个更加简单的方法
如图所示，只需要现在圆面上进行一次采样得到黑色的点，然后把它往上投影到球面上即可。
下面来证明其正确性，也就是要证明通过这样的采样方式是符合$p(\theta ,\varphi )=\frac{sin\theta cos\theta }{\pi }$的。
在二维球面上采样可以获得$p(r,\varphi )=\frac{r}{\pi }$，不难发现$r=sin\theta$，于是$p(sin\theta ,\varphi )=\frac{r}{\pi }$
考虑将$p(sin\theta ,\varphi )$变换至$p(\theta ,\varphi )$，可得雅克比行列式$$J=\left|\begin{array}{cc}cos\theta & 0\\ 0& 1\end{array}\right|=cos\theta$$
因此$p(\theta ,\varphi )=Jp(\sin \theta ,\varphi )=\frac{sin\theta cos\theta }{\pi }$
这说明这种方法采样得到的结果是符合Cosine-Weighted采样要求的。