《信号完整性分析》的读书笔记和总结

对于硬件工程师，有一种说法是，硬件工程师可以分为两类，一种是已经遇到了信号完成性问题、一种是将要遇到信号完成性问题。
在进行PCB板的设计时，对于低速芯片和电路，如果芯片时钟在10MHz以下，一般来说只需要布两层板，只要原理图没有问题，布板只需要布通就能够实现功能。
但是对于时钟频率、信号频率达到100MHz，或者对于小信号（uA甚至更小级别的信号）的处理，如果不考虑信号完整性问题，那么很有可能布出来的板子根本不能正常工作，或者存在很多不确定的BUG。因为此时对于PCB的互连线（这里的互连线不单单指导线等，而是任何能够实现电气上的连接的物理载体），我们不能简单把互连线当做理想的、透明的导体，而是各种电气元件的组合等。
笔者最近为了项目需要，在学习硬件电路设计方面的知识，因此这里对《信号完整性分析》（Eric Bogatin著）一书进行一个学习，并在博客记录一些笔记和对内容进行一个思考和总结。

1.信号完整性分析概论

1.1信号完整性的含义

广义上来说，信号完整形式指，在高速产品设计中由互连线引起的所有的问题。这个问题对于我们的信号有以下三个方面的影响：

1.时序
2.噪声
3.电磁干扰（EMI）

在这里时序不是本书讨论的重点，本书主要侧重于噪声和电磁干扰等问题的避免。其中大部分为对噪声问题的分析。

噪声问题具体来说有很多种形式，例如：振铃、反射、近端串扰、开关噪声、非单调性、地弹，电源反弹、衰减、容性负载、灵敏度、有损线等等。如果我们将目光对准电路设计中遇到的问题的具体形式，那么貌似这些问题无穷无尽，永远没有一个系统的解决方法，只能发现一个算一个。因此信号完成性就是从电路设计中遇到的问题出发，总结和归类各个噪声出现的原因，从而对噪声有个系统的认识和解决方法。

一般来说，与噪声有关的问题都可以从以下四个方面考虑：

1.单一网络信号的完整性：在一个信号的信号路径和返回路径上由于阻抗突变引起的反射与失真。

2.两个或多个网络的串扰：多个信号通路之间耦合的互电容、互电感。

3.电源和地分配中的轨道塌陷：电源和地网络中的阻抗压降。

4.来自整个系统的电磁干扰辐射：来自元件、系统、外界的电磁干扰。

通过上述四个方面，我们就把繁多复杂的电子设计问题转化成了具体的四个方面的考虑角度。从而能够系统全面的认识信号传递时的噪声问题。

1.2单一网络的信号质量

当信号沿网络传播时，它不断感受着当前的信号道路的瞬态阻抗，如果信号感受到的阻抗保持不变，那么信号在传播时就能保证不失真，如果信号感受到的阻抗产生变化，信号就会在变化处产生反射，并在接下来剩余路径的传递中发生失真。如果阻抗改变程度足够大，那么失真的程度就会更大。

什么时候互连线的阻抗会突变呢？一般有以下几种情况：

1.线宽变化
2.层转换
3.返回路径平面上的间隙
4.接插件
5.分支线、T型线、桩线
6.网络末端

那么如何减小信号所感受到的阻抗的变化呢？一般我们总结出三种方法：

1.使用均匀的传输线，这里要注意，任何能传递电的导体都是传输线，过孔也是传输线，传输平面也是传输线。

2.采用能够使沿线阻抗保持不变的拓扑结构的布线规则。例如以菊花链的方式布线等。

3,在关键位置放置电阻来控制反射并设法使接收到的信号干净些。例如在RS485通讯时，常常通过在接收和输出端接一个120R的电阻，来对传输线进行阻抗匹配，减少信号在线路上的反射。

此外，对于不同频率的信号，即使是同一条传输线，其感受到的阻抗也是不一样的。因此我们讨论阻抗，一般都是基于某些信号频率进行具体谈论。

1.3两个或多个网络的串扰

对于两个信号网络，即使每个信号网络的传输质量都非常良好，但是对于该网络正常的信号，也会通过寄生电容和寄生电感耦合到另一条信号网络中，为另一条信号网络带来噪声。

串扰的产生是由网络之间的容性耦合和感性耦合带来的。对于均匀的互连线，线条有比较宽的均匀返回路径，容性耦合和感性耦合大小相当，此时由容性耦合和感性耦合带来的串扰在近端和远端叠加的方式是不一样的。此时返回路径是均匀平面，造成的串扰是比较低的。

但是一旦返回路径的均匀平面发生变化，就会增加两个传输线之间的耦合噪声。例如当信号经过接插件且多个信号共用的返回路径是一个引脚而不是一个平面时，此时感性耦合噪声比容性耦合噪声增加的要多，也就是说，此时是感性耦合噪声起主导作用。

对于感性耦合主导的噪声，我们常常把这种串扰归为开关噪声、△I噪声、dI-dt噪声、地弹、同时开关噪声（SSN）、同时开关输出噪声（SSO）。

减小信号之间的串扰的方法：
1.采用介电质常数比较小的材料
2.减小互连线的长度，互连线越长，串扰越严重。
3.增加线之间的距离

1.4轨道塌陷噪声

噪声问题不仅仅在信号路径中产生，它在电源和地的分配网络中也是一个致命的问题。当通过电源和地之间的电流发生变化时（例如门电路翻转或芯片输出翻转），在电源和地之间的阻抗将产生一个压降，这个压降就意味着供给芯片的电压减小了，可以看做是电源与地之间的电压的突然减小或塌陷。

现在的集成芯片的发展趋势是低电压供电、大功率消耗，因此这就意味着电源和地之间的电流更大，因此轨道塌陷的问题将越来越严重。

因此我们在进行PCB的电源设计时，如果能够使我们的电源分配网络（PDS）的阻抗最小，那么即使存在电流的开关和切换，通过较低的阻抗，最终芯片感受到的电压的压降也能保持在较小的范围内。

具体的方法是：
1.相邻电源和地分配层平面的的介质应该尽可能的薄，以使它们紧紧地靠近。
2.低电感的去耦电容。
3,封装时安排多个很短的电源和地引脚。
4.片内加去耦电容。

1.5电磁干扰（EMI）

电磁干扰问题有三个方面：噪声源、辐射传播路径和天线。

电磁干扰的强度和频率正相关，对于共模信号，电磁干扰强度和频率成正比。对于差模信号，电磁干扰强度和频率的平方成正比。

产生辐射的电压源大多数来自电源分配网络，因此减少轨道塌陷也能降低辐射。

对PCB添加屏蔽盒是一个不错的选择。对于需要连接外部的线缆，在线缆上正确使用铁氧体能明显减小天线效应。

1.5信号完整性的两个重要推论

1.随着上升边沿的减小（频率的增加）上述四个问题都对变得更严重。
2.阻抗是贯穿信号完整性分型的重要内容。

2.从频域的角度理解信号

2.1时域与频域

时域是唯一一个实际存在的域。其余的域例如频域，小波等，都是一种对时域的数学上的抽象，而并没有实际存在。但是从频域的角度来分析问题，却能够提供一种新的便于理解的思路和解决办法。
虽然频域相对于时域，包含的信息是相同的，但是有些问题从频域的角度去理解往往会更容易一些。

之所以能够用频域来表示，是因为任何波形都能够用正弦波来合成。且频率不同的正弦波是正交的。

一个正弦函数，需要三个参数就能准确描述，分别是：幅值、频率、相位。一般来说在信号中我们暂时忽略相位，因此我们常常只用幅值和频率组成的频谱图来表示一个波形。

实现信号从时域到频域的转换，采用的工具是傅里叶变换。傅里叶变化发展经过三个阶段：傅里叶积分，离散傅里叶变换，快速傅里叶变换。傅里叶积分是对于理想的连续的数学模型进行傅里叶变换。离散傅里叶变换是基于现在的计算机技术衍生的傅里叶变换。
而快速傅里叶变换则是利用了方幂的原理进行的离散傅里叶变换。

2.2理想方波的频谱

因为我们的数字信号是一种类似方波的信号，因此我们在分析数字信号之前，需要对于理想方波信号（上升时间为0，占空比为50%）有个数学上的理解。理想方波信号在频域中，是多个频率的谐波的合成。假设方波的频率为10MHz，那么组成该方波的谐波的频率是0Hz，10MHz，30MHz…也就是说，组成该理想方波的谐波是该方波的频率的奇次谐波的合成。且这里0Hz意味着零次谐波，是指一种直流偏置。

对于理想方波，我们有以下总结：
1.正弦波频率分量及其幅度的集合称为频谱，每一分量称为谐波。
2.零次谐波就是直流分量值。
3.对于理想方波占空比为50%这一特殊情况，偶次谐波的幅度为0.
4.任何谐波的幅度都可以由2/(nπ)得到。

2.3实际的方波和带宽

实际的方波上升时间不为0，也就意味着，实际的方波的频率分量存在一个最大值，一般来说，我们将这个最大的频率分量称为该方波的带宽。一个方波信号的上升时间越短，也就意味着这个信号的带宽越高。

带宽和上升时间的关系为：
$$BW=0.35/RT$$
这里BW是带宽，单位GHz，RT表示10%~90%上升时间，单位为ns。
例如，若信号的上升时间为1ns，则带宽约为350MHz。

对于信号的传递来说，因为许多传输线对于高频率的谐波分量有更大阻抗，因此在信号传输中，不可避免的存在带宽降低的现象。此外许多带宽的高频分量虽然幅值不大，但是即使很小的幅值就能对上升时间产生较大的影响。

实际信号我们往往需要准确测量才能得到该信号的上升时间和带宽，如果我们需要对上升时间进行一个预估，那么有一个经验公式，一般认为，在芯片中普遍的带宽一般为时钟频率的5倍，即5次谐波。如果需求更严格的话，带宽为时钟频率的7倍时比较理想的方波。

电路中的振铃从频谱上分析，可以发现原本在理想信号中幅值较低的高次谐波分量，在振铃发生时，其幅值远远增多。也就是信号里被引入了其他的高次谐波分量，导致高次谐波分量的幅值远远大于理想信号的高次谐波分量的幅值。

2.4带宽在其他场合中的含义

上述的带宽是指波形频谱中的有效的最高正弦波频率分量。而在其他应有场合，我们有时也用带宽一词，这里的带宽则被赋予了其他的含义，但其往往还是表示最高正弦分量，只是对象不同。例如：

测量的带宽。测量的带宽是指，有足够精度的最高正弦波频率分量。也就是测量仪器在测量不同的参数时，在保证精度满足的情况下能够达到的最高测量频率。

模型的带宽。模型的带宽是指，当我们采用理想的电气模型来进行等价时，这种理想的电气模型成立是在一定的频率区间内的。能够使这个模型基本满足实际情况的最大正弦波频率就是该模型的带宽。

互连线的带宽。互连线的带宽是指，能被互连线传输且损耗不是很大的最高正弦波频率分量。这里的损耗不一定是指其幅度的损耗，在远距离电视电缆系统中，接收端甚至可以使用只有源端功率的1%的信号。实际上，互连线的带宽是指互连线能够传输的满足实际应用性能指标的最高正弦波分量。

一般来说，如果某频率的幅值在传输前后该频率的幅值减少小于3dB，也就是说幅值减少为入射值的70%以上，那么这种频率的信号我们认为是有效的。也就是说，如果我们说一个互连线的带宽是8GHz，那么我们对这个互连线输入一个8GHz的正弦波，远端得到的信号幅度最多为原信号幅度的70%。如果我们对这个互连线输入的正弦波的频率小于8GHz，那么远端得到的信号的幅度会大于原信号幅度的70%以上。也就是说，经过互连线传播后，低于8GHz的谐波被传输，高于8GHz的谐波分量变得不再是有效成分了。

此外，由于传输线对于信号是有损传播，仅此传输前的信号的上升时间经过传输后会增加，因此这里有个经验法则，就是，如果想要比较好的传播1GHz的信号，互连线的带宽至少为该信号带宽的两倍，即2GHz。

3.阻抗

3.1阻抗和信号完整性之间的关系

上文所提到的信号完整性所面临的四个问题，都可以从阻抗的角度给与理解。

1.对于单一信号网络，任何阻抗的的突变都会引起电压信号的反射和失真。如果信号感受到的阻抗保持不变，则信号就不会失真。衰减小颖是由串联和并联阻抗引起的。

2.信号的串扰是由两条相邻信号线条和它们的返回路径之间的电场和磁场的耦合引起的。信号线之间的互耦合电容和互耦合电感决定了耦合到另一条信号线的电流的大小。

3.电源的供电轨道塌陷实际上是电源分配系统的阻抗较高造成的。

4.最大的EMI根源是流经外部电缆的共模电流，此电流是由地平面上的电压引起。在地平面上返回路径的阻抗越大，电压降即地弹就越大，由它再激起辐射电流。减小电缆电磁干扰的最常用的方法是在电缆周围使用铁氧体扼流圈，这主要是为了增加共模电流所受到的阻抗，从而减少共模电流。

由此可见，所有的信号完整性的问题，都可以通过可控的阻抗来加一解决。因此我们之前说，阻抗是贯穿信号完整性问题的重要模型。

因此我们就能将期望的系统转化为需要的阻抗，通过相应的设计方法来实现期望的阻抗，从而能够对系统的信号完整性进行控制。
对于阻抗设计，我们往往采用建模加仿真的方法实现。

3.2阻抗的含义

任何两端器件，无论在什么时候，都可以将两端的电压除以流经的电流来得到阻抗。即
$$Z=V/I$$
对于阻抗来说，有两种极端的情况，对于开路器件来说，两端电压为任何值，中间都没有电流流过，此时阻抗为无穷大。对于短路器件来说，无论其流过的电流有多大，两边都不会有压差存在，此时阻抗为0欧姆。

3.3实际和理想的电路元件

理想器件是特殊的电路元件的数学描述，有详细和精确的定义。而实际的电路元件时能够测量的元件。实际的电路元件可以看做是理想的电路元件的复杂组合。一般来说我们在建模时，需要用到四种理想的电路元件：电阻、电容、电感、传输线。前三种可以归为一类，因为他们的特性可以集中在一个点上。而传输线的特性是hi沿着线分布式存在的。

首先我们先介绍理想的电阻、电感、电容，以及如何在频域中理解阻抗，和如何通过理想的电路元件进行建模。

3.4时域中的理想电路元件

时域中的理想电阻：理想电阻的阻抗的表达式为：
$$Z=\frac{V}{I}=R$$
这表明理想电阻的阻抗和电压电流无关。

时域中的理想电容：理想电容的阻抗表达式为：
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{V}{C\frac{dV}{dt}}$$
上式可以看出，电压的变化越剧烈，电容的阻抗越小。电压不变时，电容的阻抗为无穷大。

时域中的理想电感：理想电感的阻抗表达式为：
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{L\frac{dI}{dt}}{I}$$
上式可以看出，电流的变化越剧烈，电感的阻抗越大。电流不变时，电感的阻抗为零。

3.5在频域和复数域理解阻抗

正弦波是频域中唯一存在的波形。如果我们在元件两端加上频率为ω的正弦电压，由于基本电路元件和互连线为线性元件，因此元件流过的电流也一定是频率为ω的正弦电流。但是两者之间存在着幅值和相位的差异。

阻抗表征的是电压和电流之间的关系，这一点在频域内也是适用的。在时域内，我们考虑的是瞬时电压和瞬时电流的比值，而在频域内，由于所有的信号都是正弦信号，因此我们只需要考虑三个方面的问题，信号的频率ω，幅值的比值，以及相移。

$$\omega =2\pi f$$

用复数表示正弦电压、正弦电流、正弦阻抗：
根据欧拉公式，我们可以得到三角函数和复数之间的关系为
$$e^{jx}=cosx+jsinx$$
因此对于正弦信号，我们通过以下定义将正弦信号转化为复数域的形式：
对于正弦信号：
$$电压：u(t)=U_{0}cos(\omega t+{\phi }_u)$$
$$电流：i(t)=I_{0}cos(\omega t+{\phi }_i)$$
$$阻抗：z(t)=\frac{u(t)}{i(t)}=\frac{U_0}{I_0}\frac{cos(\omega t+{\phi }_u)}{cos(\omega t+{\phi }_i)}$$
$$复电压：U(t)=U_0{e}^{j(\omega t+{\phi }_u)}=U_{0}cos(\omega t+{\phi }_u)+j{U}_{0}sin(\omega t+{\phi }_u)$$
$$复电流：I(t)=I_0{e}^{j(\omega t+{\phi }_i)}=I_{0}cos(\omega t+{\phi }_i)+j{I}_{0}sin(\omega t+{\phi }_i)$$
$$复阻抗：Z=\frac{U}{I}=\frac{U_0}{I_0}{e}^{j({\phi }_u-{\phi }_i)}$$
上述复电压、复电流、复阻抗都是我们定义的。可以看出，复电压、复电流的实数部分就是电压和电流的瞬时值。

具体复阻抗方面的知识，还请自行回顾《电工学基础》这门课程。

3.6理想电阻的正弦阻抗和复阻抗

对于理想电阻来说，电阻流过的电流为$I_{0}cos(\omega t)$（$I_0{e}^{j(\omega t)}$），那么电阻两端的电压为
$$V=I_{0}cos(\omega t)\ast R$$
$$V=I_{0}R{e}^{j(\omega t)}$$
则阻抗为
$$Z=\frac{V}{I}=\frac{I_{0}sin(\omega t)\ast R}{I_{0}sin(\omega t)}=R$$
$$Z=\frac{U}{I}=\frac{I_{0}R{e}^{j(\omega t)}}{I_0{e}^{j(\omega t)}}=R$$
也就是说，理想电阻在频域内，阻抗都是相等的，与正弦电流的频率无关。
从复阻抗分析，其复阻抗也为R。

3.7理想电容的正弦阻抗和复阻抗

对于理想电容来说，电容两端的电压为$V_{0}cos(\omega t)$（$V_0{e}^{j(\omega t)}$），则流过电容的电流为

$$I=C\frac{d}{dt}{V}_{0}sin(\omega t)=\omega C{V}_{0}cos(\omega t)$$
$$I=C\frac{d}{dt}{V}_0{e}^{j(\omega t)}=j\omega C{V}_0{e}^{j(\omega t)}$$

则阻抗为

$$Z=\frac{V}{I}=\frac{V_{0}sin(\omega t)}{\omega C{V}_{0}cos(\omega t)}=\frac{1}{\omega C}\ast \frac{sin\omega t}{cos\omega t}$$
$$Z=\frac{U}{I}=\frac{V_0{e}^{j(\omega t)}}{j\omega C{V}_0{e}^{j(\omega t)}}=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$$

也就是说，对于理想电容来说，通过$\frac{1}{\omega C}$，我们可以知道，输入正弦电压的频率增加时，电容的阻抗减小。通过$\frac{sin\omega t}{cos\omega t}$我们可以知道，输入和输出有-90度的相移（cosx和sinx的相位差为-90度）。
通过复阻抗我们可以很直观的把相移和阻抗幅值同时表示，即
$$Z=-j\frac{1}{\omega C}$$
其中-j就表示了相位差-90度。阻抗幅值为$\frac{1}{\omega C}$。

3.8理想电感的正弦阻抗和复阻抗

对于理想电感来说，电感流过的正弦电流为$I_{0}cos(\omega t)$（$I_0{e}^{j(\omega t)}$），那么电感产生的电压为

$$V=L\frac{d}{dt}{I}_{0}sin(\omega t)=\omega L{I}_{0}cos(\omega t)$$
$$V=L\frac{d}{dt}{I}_0{e}^{j(\omega t)}=j\omega L{I}_0{e}^{j(\omega t)}$$

则阻抗为

$$Z=\frac{V}{I}=\frac{\omega L{I}_{0}cos(\omega t)}{I_{0}sin(\omega t)}=\omega L\ast \frac{cos\omega t}{sin\omega t}$$
$$Z=\frac{U}{I}=\frac{j\omega L{I}_0{e}^{j(\omega t)}}{I_0{e}^{j(\omega t)}}=j\omega L$$

也就是说，对于理想电感来说，通过$\omega L$可以知道，频率增加时，电感的阻抗也增加。通过$\frac{cos\omega t}{sin\omega t}$可以知道，输入和输出有90度的相移（sinx和cosx的相位差为90度）。
通常我们用复数来表示，即
$$Z=j\omega L$$
其中j就表示了相位差为90度，阻抗幅值为$\omega L$。

3.9通过理想模型分析实际电感

上述我们已经得到了电器元件的理想模型。那么如何通过理想模型对实际的电路进行一个估计呢？

我们举几个例子说明。

考虑10nF的去耦电容对1GHz频率的信号的阻抗。

若假设电容为理想电容，则阻抗为：
$$|Z|=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi \ast 1GHz\ast 10nF}=0.016\Omega$$

但是对于实际的电容，其存在一个与电容封装相关的电感，这个电感粗略估计为2nH，那么在1GHz的频率下，这个本征电感的阻抗又是多少呢？
$$|Z|=\omega L=2\pi fL=2\pi \ast 1GHz\ast 2nH=12\Omega$$

因为去耦电容的目的是通交流、隔直流，而我们的电容阻抗虽然比较低（小于0.1Ω），但是其本征电感产生的阻抗却十分的大。并且电感产生的阻抗远远大于了电容产生的阻抗，因此此时这个元件在1GHz的频率下更多的是呈现一个感性元件的特征。

因此对于实际的电容来说，其工作能力存在一个频率范围，因为在高频状态下的电容，更多的呈现的是一种感性元件。这部分的知识我们在上一篇博客里进行了详细的描述。这里就不再赘述。

3.10等效电气电路模型

通过上一节的知识，我们知道，当我们对一个实际的电气电路进行建模时，我们可以直接把该电气电路转化为一个理想的电气元件，也可以把它转化为多个理想元件的组合。但是无论何种建模方式，我们的模型的成立都是在一定的频率范围或者使用前提下才能成立。

因此我们在进行建模的时候，我们的模型一般有两个特征，一个是电路元件之间是怎样的连接（拓扑结构），一个是每个电路元件的值（参数值）。

而评估我们的模型一般从以下两个方面，一个是模型的精度，也就是我们的模型和实际的测量结果之间的接近程度。一个是模型的带宽，也就是我们的模型能够基本拟合实际测量结果的最大频率。

例如在低频时（例如70MHz以下），我们可以直接通过一个理想电容来拟合实际电容。这种最简单的模型我们称为一阶模型。

在此基础上我们用RCL电路来拟合该电容，此时在5GHz内我们的模型都能较好的拟合该实际电容的测量结果。这种在一阶模型基础上不断复杂建立的模型称为二阶模型（甚至三阶模型等）。

一般来说5GHz内的系统，二阶模型就能够达到使用要求。

4.电阻、电容、电感的物理基础

之前我们已经介绍了如何分析电阻、电容、电感里的阻抗，也就是得到阻抗的表达式。但是在其中有三个参数R、C、L我们还没有进行讨论。在这一章我们就来谈论实际中的电路元件的R、C、L的值如何确定。

4.1电阻

如果我们要估计一条导线或键合线的阻值，我们可以利用一下式子
$$R=\rho \frac{d}{A}$$
其中$\rho$为导线的体电阻率，单位为$\Omega \cdot cm$
$d$为导线的长度，单位$cm$
$A$为导线的横截面积，单位$c{m}^2$

上述为准确的物理模型公式。一般来说我们也经常用一下经验公式来估计电阻：

一般来说，键合的单位长度的电阻大概是$1\Omega /in$，也就是大约1$\Omega$每2.54$cm$。

而我们在进行电路板制作时，经常可以看到说铜厚，这里铜厚的单位为盎司，那么其实1盎司的铜厚对应的线的厚度约为1.4mil，或者35um。通过铜厚、线宽、长度，以及材料铜的电阻率一般为1.58$u\Omega \cdot cm$，就可以算出来某条导线的电阻大概是多少。

此外由于趋肤效应，导线的电阻在高频时会增加，对于1盎司的铜导线，电阻在20MHz处开始增加。

4.2电容

任意的两个导体之间都有一定量的电容。

两个平行板之间的电容量为
$$C={\epsilon }_0\frac{A}{h}$$
其中${\epsilon }_0$表示自由空间的介电常数，通常为0.89pF/cm或0.225pF/in
A表示平板面积
h表示平板间距

上式可以知道，一般情况下，导体之间的距离越小，电容值越大。导体之间重叠的面积越大，电容值越大。

上式一般是在理想情况下的电容量。一般来说平行板的电容量，由于板周围的边缘场的作用，其值约等于我们预测值的两倍。

上述${\epsilon }_0$是自由空间的介电常数，我们经常听到说某个材料的介电常数，这里其他材料的介电常数${\epsilon }_r$是指该材料的介电常数是自由空间的介电常数的多少倍。例如空气的介电常数为1，FR4玻纤板的介电常数为4~4.5。

因此其他材料的电容值的计算公式为：
$$C={\epsilon }_r{\epsilon }_0\frac{A}{h}$$

我们通过上述公式可以做什么工作呢？

例如对于电源平面和地平面，我们往往需要在两个平面之间添加多个去耦电容，目的是为了减小电源分布系统中的 轨道塌陷。通过下式我们可以知道，当电源和地之间的电容值为C时，若芯片的功率损耗为P，那么在去耦电容的作用下，电压的下降量到达电源电压5%时的时间近似为：
$$t=C\ast 0.05\frac{V^2}{P}$$
t表示电压下降量到达电源电压5%的时间，单位s
C表示去耦电容量，单位F
P表示芯片的平均功率损耗，单位W
V表示电源电压，单位V

例如当芯片的功耗为1W，电源电压为3. 5V时，通常我们需要至少5us的时间，那么我们就可以通过上述式子算出电源和地之间的去耦电容的电容值的大小，计算得C=10uF。

而对于常用的FR4的PCB板，若电源和地之间的厚度为10mil，我们可以得到由FR4材料带来的电容值为100$pF/i{n}^2$，假如我们的PCB的面积为4平方英寸，那么两平面之间的电容为0.4nF，这远远低于我们所需要的10uF，因此我们需要通过一些办法来增加两平面间的电容。

例如采用更薄的介电质材料。采用介电质系数更大的材料。和增加其他电容器等。

上面我们讲了两个平面之间的电容值的计算，而对于互连线，大多数互连线都有固定的信号路径和返回路径，那么信号路径和返回路径之间也会存在的电容，并且这个电容的电容值随着互连线的长度的增加而增加，因此对于横截面均匀的互连线，我们常常用以下公式：
$$C=C_L\ast Len$$
其中$C$表示互连线的总电容
$C_L$表示互连线单位长度的电容
Len表示互连线的长度

此外对于互连线的物理模型，我们一般分为以下几种种情况，一种是两条线同轴，例如同轴电缆的信号线和屏蔽地线。一种是两条线为平行的圆杆型，例如信号和返回路径是平行的导线的情况。一种是一个为圆杆，一条为平面，例如信号线为导线，返回路径为地平面的情况。

此外还有两种在PCB板中常见的物理模型，一种是微带线，即信号线在介质上层，平面在介质下层。一种是带状线，即信号线在两个平面中间。

上述几种互连线的物理模型，其电容值的计算都有相关的公式，这里我们就不再赘述。要使用时直接上网查就好。

当需要更精确的求出各个导体之间的电容值，我们可以利用二维场求解器，其原理是在边界条件下求解麦克斯韦方程得到。这里不再延伸，有需要的同学请自行学习。

4.3电感

电感的重要性，我们之前所说的信号完整性的四个基本问题，都和电感有关。因此了解电感对于信号完整性问题至关重要。

电感的三个基本定律：
电感定律之一：电流周围将形成闭合磁力线圈
磁力线圈的匝数以韦伯为单位来描述。符号N，单位Wb。
磁力线圈匝数和什么有关呢？
首先是电流的大小，电流越大，磁力线圈匝数越多。
导线的长度，导线越长，磁力线圈的匝数越多。
导线的横截面积，导线的横截面积越大，磁力线匝数会略有减小。
附近其他的电流的存在也会改变目标导线周围的磁力线匝数。
只有导体中含有铁等金属才能改变磁力线匝数。

电感定律之二：电感是导体周围的磁力线圈的韦伯值除以导体上流过的电流。
这里我们知道了电感是流过单位安培电流时导体周围的磁力线匝数。

$$L=\frac{N}{I}$$

但是这里我们应该对电感进行一情况上的限定，例如上述的电感里的磁力线的来源是只有目标导线的电流产生还是存在着其他电流产生。

因此我们称，对于目标导线，该导线自身电流产生的磁力线圈称为自磁力线圈。该导线附近的其他电流产生的磁力线圈称为互磁力线圈。

单位电流产生的自磁力线圈的值我们称之为自感。互感是指一根导线流过单位电流时在另一根导线周围产生的互磁力线圈的值。

一根导线的总电感等于该导线当前的周围磁力线圈的匝数除以该导线当前的电流。

互感具有对称性，两根导线的互感是相同的。

两导线电流方向相同，磁力线圈匝数等于自磁力线圈加互磁力线圈。
两导线电流方向相反，磁力线圈匝数等于自磁力线圈减互磁力线圈。

电感定律之三：当导体周围的磁力线圈匝数变化时，导体两端产生感应电压。

$$V=\frac{△N}{△t}$$

磁力线圈有个性质，那就是不管什么原因，只要一段导线周围的磁力线总匝数发生变化，就会在导线两端产生电压。