北交大《离散数学》——第一部分

绪论

1. 计算机只能表示离散类型的数据，所以计算机科学关心如何对离散结构建立数学模型和如何将已有的连续数学模型离散化。
2. “用一组基本的计算机指令来编制一个计算机程序，非常类似于用一组公理来构造一个数学证明”。

第一讲

1.1 集合与序列：

1. 集合为基本概念，很难给出其严格定义。
2. 特别规定：$\forall A,有A\notin A.$
3. 集合的两种形式化表示：外延法（列举法，如$\{a,b,c\cdots \}$）和内涵法（描述法，如$\{x|P(x)\}$）。
4. 超集与子集：$A\subseteq B$，称A为B的子集（subset），B为A的超集（superset）。
5. 真子集（proper subset）：$A\subset B$。
6. 空集（empty set）：$\varphi$。
   【定理】：$A$为任意集合，$\varphi$是空集，则有：(i) $A\subset A$;(ii) $\varphi \subseteq A.${ 反证法证明ii }
   【推论】：空集$\varphi$是唯一的。{ 上述定理中$A$取为另一空集${\varphi }^{\prime }$即可证明 }
7. 集合的基数（又称势）：一个集合所含元素的个数，记作$|A|或\#A或card(A)$。若$|A|<\infty$，则称A为有限集，否则称为无限集。
8. 幂集（power set）：一个集合的所有子集构成的集合，记为$\mathcal{P}(A)$，即$\mathcal{P}(A)=\{x|x\subseteq A\}$。
9. 集合的运算：交集（$A\cap B$）、并集（$A\cup B$）、差集（相对补，$A-B,A\backslash B$）、补集（绝对补，$\overline{A},\sim A$）、对称差（$A\oplus B=\{x|x\in A或x\in B且x\notin AB\}$）.
10. 集合运算的运算律：交换律、结合律、分配律、吸收律【$A\cap (A\cup B)=A,A\cup (A\cap B)=A$】、幂等律【$A\cup A=A,A\cap A=A$】、双重否定律、矛盾律【$A\cap \overline{A}=\varphi$】、排中律【$A\cup \overline{A}=U$】、余补律【$\overline{\varphi }=U,\overline{U}=\varphi$】、零律【$A\cup U=U,A\cap \varphi =\varphi$】、同一律【$A\cup \varphi =A,A\cap U=A$】、摩根律【$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B},\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$，另有摩根律的相对性质】。
11. 韦恩图。
12. 序列、序列中的项、序列的长度、子序列（保持原序）。
13. $A^{\ast }$定义为由集合$A$生成的所有有限长度序列的全体，$A^{\ast }$中的元素称为词或串，$A^{\ast }$中的空序列称为空串（记作$\lambda$或$\epsilon$），此时的$A$称为字母表。
14. 序列的运算：连接（$w_1°w_2$）。

1.2 数论基础

1. 【定理】：（带余除法，记作$r=mmodn$）$m=q\cdot n+r$，其中$m,n,q,r$均为整数，且$0\le r<|n|$，其中$q$称作商，$r$称为余数。
2. $n$整除$m$记为$n|m$。
3. 素数、合数：要求大于1。【证明素数有无穷多个】
4. 【算术基本定理】任意大于1的正整数，可唯一地表示为若干个互异素数幂次的乘积形式，即可唯一地素因式分解（$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s}$）。
5. 公因子、最大公因子【$GCD(a,b)$】、互素【$GCD(a,b)=1$】、公倍数、最小公倍数【$LCM(a,b)$】
   
   
6. 【推论】：$LCM(a,b)\cdot GCD(a,b)=ab.$
7. 数的进制。【突然想到了知乎里看到的俄罗斯的三进制计算机。。。】
8. 【当我们不知道$a,b$的因子分解时，也可以计算$GCD(a,b)$】
9. 【定理】：（辗转相除法）$设a=qb+r，其中a,q,b,r都是整数，则GCD(a,b)=GCD(b,r)$。
   【证明】：$$\begin{gathered} 设a=qb+r， \\ 若d|a且d|b，则d|(a-qb)，即d|r； \\ 若d|b且d|r，即d|b且d|(a-qb)，则d|a. \\ 故a,b的公因子集合与b,r的公因子集合相等，自然GCD(a,b)=GCD(b,r). \end{gathered}$$
10. 【裴蜀等式】：$$对不全为0的a,b和d，方程sa+tb=d有整数解\iff GCD(a,b)|d.$$
    【证明】
    (i)充分性：$由欧几里得算法可知，\exists k_1,k_2\in Z,使k_{1}a+k_{2}b=GCD(a,b),又GCD(a,b)|d,故\exists k\in Z,使k\cdot GCD(a,b)=d,所以k{k}_{1}a+k{k}_{2}b=k\cdot GCD(a,b)=d,即方程sa+tb=d有整数解s=k{k}_1,t=k{k}_2.$
    (ii)必要性：$若方程sa+tb=d有整数解s=s_0,t=t_0,则s_{0}a+t_{0}b=d,又GCD(a,b)|a且GCD(a,b)|b,则GCD(a,b)|(s_{0}a+t_{0}b)，即GCD(a,b)|d.$
    【推论】 $$\begin{gathered} 前述有GCD(a,b)\cdot LCM(a,b)=ab, \\ 而GCD(a,b)可由欧几里得算法求得， \\ 故LCD(a,b)的计算可转化为GCD(a,b)的计算 \end{gathered}$$ 。
    【例题】：$计算GCD(2009,1394)和LCM(2009,1394).$
11. 同余：$设a,b为整数，n为正整数，n|(a-b)，则称a,b模n同余，记作a\equiv b(modn).$
12. 【定理】：$a与b模n同余\iff amodn=bmodn\iff \exists k\in Z,使得a=b+kn.$
    【推论】：$b|a\iff amodb=0\iff a\equiv 0(modb).$

1.3 计数基础

1. 分类加法原理（类间不覆盖）、分步乘法原理（步间独立）。
2. 排列：$\begin{array}{ccc}& 不重复选取& 重复选取\\ 有序选取& 排列& 可重排列\\ 无序选取& 组合& 可重组合\end{array}$
3. 【定理】：$n取r的可重排列数目为n^r.$
4. 排列：$n取r个对象按序排列，该排列的全体构成的集合记为\mathrm{P}(n,r)，\mathrm{P}(n,r)中排列的个数用P(n,r)表示$。全排列。
5. 【定理】：$P(n,r)=\{\begin{array}{ll}0& ,r>n\\ n(n-1)\cdots (n-r+1)& ,r\le n\end{array}$
6. $P(n,r)=n(n-1)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}.$
7. 组合：$n个不同元素取r个不重复元素构成一个子集，不考虑元素间的顺序，该子集称作r-子集。n取r组合的全体构成的集合记为\mathrm{C}(n,r)，\mathrm{C}的元素个数记为C(n,r)或(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}).$
8. 组合性质：$$\begin{array}{rl}& C(n,r)=\{\begin{array}{ll}\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}& ,r\le n\\ 0& ,r>n\end{array}\\ & C(n,r)=C(n,n-r).\end{array}$$
9. 【鸽巢原理】：$n+1个鸽子住进n个巢，则必有一个巢住了多余一个鸽子$。【另有一般性鸽巢原理】
   【例题】：试证明一个边长为1的正六边形内放置19个点，则必有两个点的距离不超过$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
10. 【容斥原理】：设$A,B$为两个有限集，则$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$
    【证明】：$若A\cap B=\varphi ，则|A\cup B|=|A|+|B|；若A\cap B̸=\varphi ，则由A\cup B=(A-B)\cup B且(A-B)\cap B=\varphi ，和A=(A-B)\cup (A\cap B)可得，|A\cup B|=|A-B|+|B|=|A|-|A\cap B|+|B|.$
11. 【可重组合定理】：$从n个相异对象中选取k个，且允许重复选取，则选取的方法数目为C(n+k-1,k).$
12. 【斐波那契数列】：本质特征为$f(n)=f(n-1)+f(n-2).$
    【举例】：1. 有n阶楼梯，每步可走1或2阶，问共有几种走法？2. 用12的骨牌覆盖2n的棋盘，问共有几种覆盖方法？14. 【k阶常系数线性齐次递推关系】$a_n满足：a_n+C_1{a}_{n-1}+\cdots +C_k{a}_{n-k}=0,且有初值a_0=d_0,a_1=d_1,\cdots ,a_{k-1}=d_{k-1}.$
    【$a_n可由初值与常系数表出$】
    【特征方程】：$x^k+C_1{x}^{k-1}+C_2{x}^{k-2}+\cdots +C_k=0.$
    【k阶特征方程的特征根能导出什么关系？已知2阶的可导出类似等比的关系】
13. 【2阶常系数线性齐次递推】：$$\begin{gathered} a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}，其特征方程为x^2-c_{1}x-c_2=0，其根为x_1,x_2，则有x_1+x_2=c_1,x_1{x}_2=-c_2.故 \\ \begin{array}{rl} \\ & a_n=c_1{a}_{n-1}+c_2{a}_{n-2}=(x_1+x_2)a_{n-1}-(x_1{x}_2)a_{n-2}\\ & ⟹\{\begin{array}{l}(a_n-x_1{a}_{n-2})=x_2(a_{n-1}-x_1{a}_{n-2})=\cdots ={x_2}^{n-1}(a_1-x_1{a}_0),\\ (a_n-x_2{a}_{n-2})=x_1(a_{n-1}-x_2{a}_{n-2})=\cdots ={x_1}^{n-1}(a_1-x_2{a}_0),\end{array}\\ & ⟹a_n=\{\begin{array}{llcc}& \frac{a_1-x_2{a}_0}{x_1-x_2}{x_1}^n+\frac{a_1-x_1{a}_0}{-(x_1-x_2)}{x_2}^n\genfrac{}{}{0ex}{}{记}{=}u\cdot {x_1}^n+v\cdot {x_2}^n,& x_1̸=x_2& (1)\\ & a_0{x_1}^n+(a_1-x_1{a}_0)n{x_1}^{n-1},& x_1=x_2& (2)\end{array}\end{array} \end{gathered}$$
    【其中(1)式中的$u,v$可由已知的$a_1,a_0,x_1,x_2$直接表出，也可利用2阶递推的2个初值条件列方程求出（如下面的斐波那契数列）】
14. 【斐波那契数列】：以下为一种斐波那契数列$$f_n=\{\begin{array}{llc}& 1,& n=1\\ & 1,& n=2\\ & f_{n-1}+f_{n-2},& 其它\end{array}$$
    该数列的具体形式：$1,1,2,3,5,8\cdots$，即从第三项开始，每一项等于其前两项之和。如果无法给出通项$f_n$，则只能从第一、二项开始逐项递推得到第n项。而上述第14条给出了像斐波那契递推这样的2阶常系数线性齐次递推的通项，不可谓不妙！
    可延拓上述给出的斐波那契数列，使得当$n=0$时，$f_n=0.$
    $$\begin{array}{rl}{f}_n=f_{n-1}+f_{n-2}& ⟹特征方程：x^2-x-1=0\\ & ⟹\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\\ x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\end{array}⟹x_1̸=x_2\\ & ⟹f_n=\frac{f_1-x_2{f}_0}{x_1-x_2}{x_1}^n+\frac{f_1-x_1{f}_0}{-(x_1-x_2)}{x_2}^n\\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n.\end{array}$$
15. 【例题】：$a_1=1,a_2=3,a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}$求通项$a_n.$
16. 【错排问题】：若n个元素的全排列中所有元素都不在原排列的位置上，则该排列称为原排列的一个错排。如何求n个元素的错排数$D(n)$?
17. 【错排数】：已知$D(1)=0,D(2)=1,$
    $$\begin{array}{rl}(i)递推：D(n)& =(n-1)[D(n-2)+D(n-1)]，记N(n)=\frac{D(n)}{n!}，则\\ N(n)-N(n-1)& =\frac{D(n)}{n!}-\frac{D(n-1)}{(n-1)!}\\ & =\frac{(n-1)[D(n-2)+D(n-1)]}{n!}-\frac{D(n-1)}{(n-1)!}\\ & =-\frac{1}{n}\cdot [\frac{D(n-1)}{(n-1)!}-\frac{D(n-2)}{(n-2)!}]\\ & =-\frac{1}{n}\cdot [N(n-1)-N(n-2)]=\cdots \\ & =(-1{)}^{n-2}\cdot \frac{1}{n(n-1)\cdots 3}\cdot [N(2)-N(1)]\\ & =(-1{)}^{n-2}\cdot \frac{1}{n(n-1)\cdots 3}\cdot [\frac{D(2)}{2}]\\ & =(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n!}.\\ 故N(n)& =[N(n)-N(n-1)]+\cdots +[N(2)-N(1)]+N(1)\\ & =\sum _{k=2}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}+\frac{D(1)}{1!}=\sum _{k=2}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}+\frac{(-1{)}^1}{1!}+\frac{(-1{)}^0}{0!}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}=\frac{D(n)}{n!}\\ 故D(n)& =n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}=n![e^{-1}-R_n].\end{array}$$

1.4 布尔矩阵（位矩阵）及其运算

1. 【布尔矩阵】：元素为0或1的矩阵。
2. 【补运算】：$若A=[a_{ij}]为m\times n布尔矩阵，定义其补为\overline{A}=\overline{[a_{ij}]}=[1-a_{ij}].$
3. 【并运算】：$若A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]为m\times n布尔矩阵，定义其并为A\vee B=C=[c_{ij}]，其中c_{ij}=\{\begin{array}{ll}0,& a_{ij}=b_{ij}=0\\ 1,& 其它\end{array}$
4. 【交运算】：$若A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]为m\times n布尔矩阵，定义其并为A\wedge B=C=[c_{ij}]，其中c_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& a_{ij}=b_{ij}=1\\ 0,& 其它\end{array}$
5. 【布尔积】：$若A=[a_{ij}]为m\times n，B=[b_{ij}]为n\times r布尔矩阵，定义其布尔积为A⨀B=C=[c_{ij}]为m\times r矩阵，其中c_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& \exists 1\le k\le n,使a_{ik}{b}_{kj}=1\\ 0,& 否则\end{array}$

第二讲：命题逻辑

2.1 命题逻辑的基本概念

1. 【命题】：非真即假的陈述句称为命题。通常用带或不带下标的小写字母
   表示命题，称为命题变元，但两者严格来讲不同。
2. 【概念】：原子命题、复合命题（由原子命题联结而成）。
3. 【命题联结词】：$否定词（\sim p）、合取词（\wedge ）、析取词（\vee ）、异或词（\oplus ）、蕴涵词（⟹）、等价（⟺）$
4. 【难点】：蕴含式中若前提为假，则不论结论真假，蕴含式的真值均为真???【举例】：“若1+2=4，则2+3=7”为真；“若1+2=4，则2+3=5”为真。

2.2 命题公式及其分类

1. 【命题公式】：（well formed formular,wff）命题变项是命题公式，有限次递归地加以否定或加以联结构成的符号串也是命题公式。
2. 命题公式不是命题，仅当其中的所有命题变项被赋予真值时，才成为命题。含有n个命题变项的命题公式称为n元命题公式。
3. 【成真（假）赋值】：使得命题为真（假）的一组命题变项赋值。n元命题公式有$2^n$种真值指派。
4. 【永真（假）式】：$2^n$种指派均为真（假）的命题公式，也称为重言式（矛盾式）。非永假式又称可满足式，进而有非重言的可满足式。
5. 【真值表】
6. 【命题公式的符号化】

2.3 命题逻辑的等值演算

1. 【等值式】：$设A，B为两个命题公式，若A⟺B为重言式，则称A与B等值或逻辑等价，记作A\equiv B，称为等值式0$。
2. 【等值判断】：真值表法、等值演算法。
3. 【等值式举例】：$p\vee (p\wedge q)\equiv p，(p⟹q)\equiv (\sim p\vee q)$
4. 【基本等值式】： 交 换 律 ： p ∨ q ≡ q ∨ p , p ∧ q ≡ q ∧ p 结 合 律 ： ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r ) , ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) 分 配 律 ： p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) , p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) 幂 等 律 ： p ∨ p ≡ p , p ∧ p ≡ p 吸 收 律 ： p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p , p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p 双 重 否 定 律 ： ∼ ( ∼ p ) ≡ p 德 ⋅ 摩 根 律 ： ∼ ( p ∨ q ) ≡ ( ∼ p ) ∧ ( ∼ q ) , ∼ ( p ∧ q ) ≡ ( ∼ p ) ∨ ( ∼ q ) 零 律 ： p ∨ T ≡ T , p ∧ F ≡ F 同 一 律 ： p ∨ F ≡ p , p ∧ T ≡ p 排 中 律 ： p ∨ ∼ p ≡ T 矛 盾 律 ： p ∧ ∼ p ≡ F 蕴 涵 等 值 式 ： ( p ​​​   ⟹   ​​​ q ) ≡ ( ∼ p ∨ q ) 等 价 等 值 式 ： ( p    ⟺    q ) ≡ ( ( p    ⟹    q ) ∧ ( q    ⟹    p ) ) \begin{aligned}&交换律：p\lor q\equiv q\lor p,p\land q\equiv q\land p \\&结合律：(p\lor q)\lor r \equiv p\lor (q\lor r),(p\land q)\land r \equiv p\land (q\land r) \\&分配律：p\lor (q \land r)\equiv (p\lor q)\land(p\lor r),p\land (q \lor r)\equiv (p\land q)\lor(p\land r) \\&幂等律：p\lor p\equiv p,p\land p\equiv p \\&吸收律：p\lor(p\land q)\equiv p,p\land(p\lor q)\equiv p \\&双重否定律：\sim(\sim p)\equiv p \\&德·摩根律：\sim(p\lor q)\equiv(\sim p)\land(\sim q),\sim(p\land q)\equiv(\sim p)\lor(\sim q) \\&零律：p\lor T\equiv T,p\land F\equiv F \\&同一律：p\lor F\equiv p,p\land T \equiv p \\&排中律：p\lor \sim p\equiv T \\&矛盾律：p\land \sim p\equiv F \\&蕴涵等值式：(p\!\!\!\implies \!\!\!q)\equiv (\sim p\lor q) \\&等价等值式：(p\iff q)\equiv ((p\implies q)\land (q\implies p)) \end{aligned} ​交换律：p∨q≡q∨p,p∧q≡q∧p结合律：(p∨q)∨r≡p∨(q∨r),(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)分配律：p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r),p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)幂等律：p∨p≡p,p∧p≡p吸收律：p∨(p∧q)≡p,p∧(p∨q)≡p双重否定律：∼(∼p)≡p德⋅摩根律：∼(p∨q)≡(∼p)∧(∼q),∼(p∧q)≡(∼p)∨(∼q)零律：p∨T≡T,p∧F≡F同一律：p∨F≡p,p∧T≡p排中律：p∨∼p≡T矛盾律：p∧∼p≡F蕴涵等值式：(p⟹q)≡(∼p∨q)等价等值式：(p⟺q)≡((p⟹q)∧(q⟹p))​
5. 【定理】：（代入规则）重言式中所有相同的命题变项替换为同一命题公式后仍得重言式。
6. 【定理】：（置换规则）$若A\equiv B,则\Phi (A)\equiv \Phi (B)，其中A,B为命题公式，\Phi (B)由B部分或全部替换\Phi (A)中的A得到.$
7. 【例题】：$(A⟹X)\wedge (B⟹X)\equiv (\sim A\vee X)\wedge (\sim B\vee X)\equiv (\sim A\wedge \sim B)\vee X\equiv \sim (A\vee B)\vee X\equiv (A\vee B)⟹X.$
8. 【例题】：化简程序$$\begin{gathered} ((A\wedge B)\wedge (B\vee C)⟹X) \\ \wedge ((A\wedge B)\wedge \sim (B\vee C)⟹Y) \\ \wedge (\sim (A\wedge B)\wedge (A\vee C)⟹Y) \\ \wedge (\sim (A\wedge B)\wedge \sim (A\vee C)⟹X) \end{gathered}$$
   【解析】： 首 先 有 ( p ​​   ⟹   ​​​​ X ) ∧ ( q ​​   ⟹   ​​​​ X ) ≡ ( q ∨ q ) ​​   ⟹   ​​ X , 故 [ ( A ∧ B ) ∧ ( B ∨ C ) ​​   ⟹   ​​​​ X ] ∧ [ ∼ ​​ ( A ∧ B ) ∧ ∼ ​​ ( A ∧ C ) ​​   ⟹   ​​​​ X ] ≡ [ ( A ∧ B ) ∧ ( B ∨ C ) ] ∨ [ ∼ ​​ ( A ∧ B ) ∧ ∼ ​​ ( A ∧ C ) ] ​​   ⟹   ​​​ X ≡ [ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ B ∧ C ) ] ∨ [ ( ∼ ​​ A ∨ ∼ ​ B ) ∧ ( ∼ A ∨ ∼ ​ C ) ] ​​   ⟹   ​​ X ≡ [ A ∧ B ] ∨ [ ∼ ​​ A ∨ ( ( ∼ A ∨ ∼ B ) ∧ ∼ C ) ]    ⟹    X ≡ [ A ∧ B ] ∨ [ ∼ ​​ A ∨ ( ∼ A ∧ ∼ C ) ∨ ( ∼ B ∧ ∼ C ) ]    ⟹    X ≡ ( A ∧ B ) ∨ ∼ A ∨ ( ∼ B ∧ ∼ C )    ⟹    X ≡ ∼ A ∨ B ∨ ( ∼ B ∧ ∼ C )    ⟹    X ≡ T ∧ ( ∼ A ∨ B ∨ ∼ C )    ⟹    X ≡ ∼ ( A ∧ ∼ B ∧ C )    ⟹    X 由 此 法 可 得 : 原 程 序 ≡ ( ∼ ( A ∧ ∼ B ∧ C )    ⟹    X ) ∧ ( ( A ∧ ∼ B ∧ C )    ⟹    Y ) \begin{aligned} &首先有(p\!\!\implies \!\!\!\!X)\land (q\!\!\implies \!\!\!\!X)\equiv (q\lor q)\!\!\implies \!\!X, \\&故[(A\land B)\land (B\lor C)\!\!\implies \!\!\!\!X]\land [\sim\!\!(A\land B)\land \sim\!\!(A\land C)\!\!\implies \!\!\!\!X] \\&\equiv[(A\land B)\land (B\lor C)]\lor[\sim\!\!(A\land B)\land \sim\!\!(A\land C)]\!\!\implies \!\!\!X \\&\equiv[(A\land B)\lor(A\land B \land C)]\lor[(\sim\!\!A \lor \sim \!B)\land(\sim A\lor\sim \!C)]\!\!\implies \!\!X \\&\equiv[A\land B]\lor[\sim \!\!A\lor((\sim A\lor \sim B)\land \sim C)]\implies X \\&\equiv[A\land B]\lor[\sim \!\!A\lor(\sim A\land \sim C)\lor(\sim B\land \sim C)]\implies X \\&\equiv (A\land B)\lor\sim A\lor(\sim B\land\sim C)\implies X \\&\equiv\sim A\lor B \lor(\sim B\land\sim C)\implies X \\&\equiv T\land(\sim A\lor B\lor\sim C)\implies X \\&\equiv\sim(A\land\sim B\land C)\implies X \\&由此法可得:原程序\equiv(\sim(A\land\sim B\land C)\implies X)\land((A\land \sim B\land C)\implies Y) \end{aligned} ​首先有(p⟹X)∧(q⟹X)≡(q∨q)⟹X,故[(A∧B)∧(B∨C)⟹X]∧[∼(A∧B)∧∼(A∧C)⟹X]≡[(A∧B)∧(B∨C)]∨[∼(A∧B)∧∼(A∧C)]⟹X≡[(A∧B)∨(A∧B∧C)]∨[(∼A∨∼B)∧(∼A∨∼C)]⟹X≡[A∧B]∨[∼A∨((∼A∨∼B)∧∼C)]⟹X≡[A∧B]∨[∼A∨(∼A∧∼C)∨(∼B∧∼C)]⟹X≡(A∧B)∨∼A∨(∼B∧∼C)⟹X≡∼A∨B∨(∼B∧∼C)⟹X≡T∧(∼A∨B∨∼C)⟹X≡∼(A∧∼B∧C)⟹X由此法可得:原程序≡(∼(A∧∼B∧C)⟹X)∧((A∧∼B∧C)⟹Y)​

2.4 范式

1. 【概念】：命题变项（$p$）、文字（$p,\sim p$）、互补对（$p$与$\sim p$）、析取式（有限个文字的析取组合）、合取式。
2. 【析取范式】：合取式的析取组合（$A_1\wedge A_2\wedge \cdots \wedge A_n，其中A_i为合取式$）称为析取范式，其逻辑联结词只可能是$\sim ,\wedge ,\vee$。
3. 【合取范式】
4. 【定理】：一个析取范式是矛盾式，当且仅当其每个合取式至少含一个互补对（即每个合取式均为矛盾式）。【把析取换成合取，矛盾换成重言，可得另一对应的定理】
5. 【定理】：（范式存在定理）任一命题公式均存在与之等值的析取范式和合取范式，但范式可能不唯一。【可见求范式步骤】
6. 【求范式的步骤】：第一，利用等值式将逻辑联结词转为只含$\sim ,\wedge ,\vee$；第二，简化双重否定，并使$\sim$直接作用到文字；第三，利用分配律最后得到范式。
7. 【求范式例题】：1.求$\sim (p\vee q)⟺(p\wedge q)$的析取范式。其中引出特殊等值式$A⟺B\equiv (A\wedge B)\vee (\sim A\wedge \sim B)$;2.求$\sim (p\vee q)⟺(p\wedge q)$的合取范式。其中引出特殊等值式$A⟺B\equiv (\sim A\vee B)\wedge (A\vee \sim B)$。
8. 【极小项】：$n个命题变项p_1,\cdots ,p_n组成合取式q_1\wedge \cdots \wedge q_n满足q_i=p_i或\sim p_i，即p_i或\sim p_i必出现，且必出现在在第i个位置，且p和\sim p_i不同时出现，则称该合取式为极小项。每个极小项对应一个二进制数（转换成十进制为i）使其为成真指派，则可将此极小项记为m_i$。
9. 【极小项的性质】：含n个命题变项的命题公式所含的极小项个数和成真指派个数均为$2^n$；每个确定的极小项的成真指派唯一；极小项两两不相等，且$m_i\wedge m_j\equiv F(i̸=j)$；恰由$2^n$个极小项构成的析取式必为重言式。
10. 【极大项】：定义类似极小项（性质亦类似），但记号$M_i与m_i$不同 ，$M_i$中下标为（有序）析取式的成真指派二进制数对应的十进制数。
11. 【定理】：$m_i和M_i是命题变项p_1,\cdots ,p_n构成的极小项和极大项，则m_i\equiv \sim M_i.$
12. 【主范式】：若由n个命题变项构成的析取范式中所有的合取式都是极小项，则称其为主析取范式，记为$\sum$。
13. 【求主析取范式】：给定一个命题公式$A$：先求出A的一个析取范式$A^{\prime }$；若$A^{\prime }$的某合取式$B$不含$p_i或\sim p_i$，则对$B$作等值替换$B\equiv B\wedge (p_i\vee \sim p_i)\equiv (B\wedge p_i)\vee (B\wedge \sim p_i)$；接着消去重复出现的命题变项、矛盾式及重复出现的极小项；最后将极小项按从小到大的顺序排列，并用$\sum$表示。如$m_1\vee m_3\vee m_5$表示为$\sum (1,3,5)$。
14. 【由主析取范式求主合取范式】
15. 【主析取范式定理】：任一含n个命题变项的命题公式，都存在唯一的与之等值的且恰含n个命题变项的主析取范式。【应用】：判断两个命题公式是否等值；判断命题公式的类型（重言、矛盾、可满足）；求命题公式的成真和成假赋值。

2.5 命题逻辑的推理

1. 【推理】：从已知的前提推出结论的思维过程。
2. 【前提】：（也称假设）是指已知的命题公式$A_1,A_2,\cdots ,A_n$。
3. 【结论】：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
4. 【正确的推理】：指$A_1\wedge A_2\wedge \cdots \wedge A_n⟹B$是重言式。此时称$B$是$A_1,A_2,A_n$的逻辑推理或有效结论。
5. 【解推理问题】：(a).将命题符号化；(b).写出前提、结论、推理的形式结构；(c ).对推理形式的正确性做出判断（仅考虑推理形式结构上的有效性而非结论的有效性，即判断蕴含式是否重言）。
6. 【定理】：（基本推理公式）以下蕴含式均重言：
   $$\begin{array}{rl}& (a).附加律：A⟹(A\vee B)\\ & (b).化简律：(A\wedge B)⟹A\\ & (c).假言推理/分离式：(A⟹B)\wedge A⟹B\\ & (d).析取三段论：(A\vee B)\wedge \sim B⟹A\\ & (e).拒取式：(A⟹B)\wedge \sim B⟹\sim A\\ & (f).假言三段论：(A⟹B)\wedge (B⟹C)⟹(A⟹C)\end{array}$$
7. 【推理规则】：前提引入规则（前提可随时引入）；结论引入规则（已证结论可随时引入）；代入规则（同等值演算）；置换规则（同等值演算）。
8. 【附加前提证明法】：欲证前提$p_1,\cdots ,p_k$可得结论$r⟹q$，等价于证明前提$p_1,\cdots ,p_k,r$可得结论$q$。
9. 【概念】：若$A_1\wedge \cdots \wedge A_n$是可满足式，则称$A_1,\cdots ,A_n$是相容的，否则称不相容的。
10. 【定理】：（反证法）若$(A_1\wedge A_2\wedge ,\cdots ,\wedge A_n⟹B)$为重言式，当且仅当$(A_1\wedge A_2\wedge ,\cdots ,\wedge A_n\wedge \sim B)$为矛盾式。
11. 【归结法】：(a).将$A\wedge \sim B$化成合取范式$C_1\wedge ,\cdots ,\wedge C_n$，其中$C_i$为析取式，由$C_i$构成子句集$S=\{C_1,\cdots ,C_n\}$；(b).将$S$中的子句作为归结（消互补对），归结结果仍归入$S$，重复此步；(c ).直至归结出空子句（即矛盾式）。【归结法似乎与反证法有联系】
12. 【归结推理规则】：假设第11条(b)中子句1为$C_1=L\vee C_1^{\prime }$，子句2为$C_2=\sim L\vee C_2^{\prime }$，其中$L$与$L^{\prime }$为互补对。
13. 【归结的理论依据】：$C_1=L\vee C_1^{\prime },C_2=L\vee C_2^{\prime },则R(C_1,C_2)=C_1^{\prime }\vee C_2^{\prime },因为C_1\wedge C_2⟹C_1^{\prime }\vee C_2^{\prime }为重言式（反证法即可证之）$。
14. 【对偶】：在仅含$\sim ,\wedge ,\vee$的命题公式$A$中，将$\wedge$换成$\vee$，$\vee$换成$\wedge$，T和F互换，得到的命题公式称为A的对偶式，记为$A^{\ast }$。
15. 【定理】：$\sim A(p_1,\cdots ,p_n)\equiv A(\sim p_1,\cdots ,\sim p_n)$，其中A为仅含$\sim ,\wedge ,\vee$的n元命题公式。
16. 【定理】：（对偶原理）A，B仅含$\sim ,\wedge ,\vee$，若$A\equiv B,则A^{\ast }\equiv B^{\ast }.$
17. 【完备联结词】：与非词（$p\uparrow q\equiv \sim (p\wedge q)$）、或非词($p\downarrow q\equiv \sim (p\vee q)$)。