C++模拟水波的形成

波有如下几个特性：

扩散：当你投一块石头到水中，你会看到一个以石头入水点为圆心所形成的一圈圈的水波，这里，你可能会被这个现象所误导，以为水波上的每一点都是以石头入水点为中心向外扩散的，这是错误的。实际上，水波上的任何一点在任何时候都是以自己为圆心向四周扩散的，之所以会形成一个环状的水波，是因为水波的内部因为扩散的对称而相互抵消了。 
衰减：因为水是有阻尼的，否则，当你在水池中投入石头，水波就会永不停止的震荡下去。 
水的折射：因为水波上不同地点的倾斜角度不同，所以，因为水的折射，我们从观察点垂直往下看到的水底并不是在观察点的正下方，而有一定的偏移。如果不考虑水面上部的光线反射，这就是我们能感觉到水波形状的原因。 
反射：水波遇到障碍物会反射。 
衍射：忽然又想到这一点，但是在程序里却看不到，如果能在水池中央放上一块礁石，或放一个中间有缝的隔板，那么就能看到水波的衍射现象了。 
好了，有了这几个特性，再运用数学和几何知识，我们就可以模拟出真实的水波了。但是，如果你曾用3DMax做过水波的动画，你就会知道要渲染出一幅真实形状的水波画面少说也得好几十秒，而我们现在需要的是实时的渲染，每秒种至少也得渲染20帧才能使得水波得以平滑的显示。考虑到电脑运算的速度，我们不可能按照正弦函数或精确的公式来构造水波，不能用乘除法，更不能用sin、cos，只能用一种取近似值的快速算法，尽管这种算法存在一定误差，但是为了满足实时动画的要求，我们不得不这样做。

首先我们要建立两个与水池图象一样大小的数组buf1[PoolWidth*PoolHeight]和buf2[PoolWidth*PoolHeight]（PoolWidth=水池图象的象素宽度、PoolHeight=水池图象的象素高度），用来保存水面上每一个点的前一时刻和后一时刻波幅数据，因为波幅也就代表了波的能量，所以以后我们称这两个数组为波能缓冲区。水面在初始状态时是一个平面，各点的波幅都为0，所以，这两个数组的初始值都等于0。

下面来推导计算波幅的公式


我们假设存在这样一个一次公式，可以在任意时刻根据某一个点周围前、后、左、右四个点以及该点自身的振幅来推算出下一时刻该点的振幅，那么，我们就有可能用归纳法求出任意时刻这个水面上任意一点的振幅。如左图，你可以看到，某一时刻，X0点的振幅除了受X0点自身振幅的影响外，同时受来自它周围前、后、左、右四个点（X1、X2、X3、X4）的影响（为了简化，我们忽略了其它所有点），而且，这四个点对a0点的影响力可以说是机会均等的。那么我们可以假设这个一次公式为：

X0'=a（X1+X2+X3+X4）+bX0 (公式1)
a、b为待定系数，X0'为0点下一时刻的振幅
X0、X1、X2、X3、X4为当前时刻的振幅

下面我们来求解a和b。
假设水的阻尼为0。在这种理想条件下，水的总势能将保持不变。也就是说在任何时刻，所有点的振幅的和保持不变。那么可以得到下面这个公式：
X0'+X1'+...+Xn' = X0+X1+...+Xn 

将每一个点都象公式1那样计算，然后代入上式，得到：
（4a+b）X0+（4a+b）X1+...（4a+b）Xn = X0+X1+...+Xn
=＞4a+b=1

找出一个最简解：a = 1/2、b = -1
因为1/2可以用移位运算符“>>”来进行，不用进行乘除法，所以，这组解是最适用的而且是最快的。那么最后得到的公式就是：
X0'=（X1+X2+X3+X4）/ 2- X0

好了，有了上面这个近似公式，你就可以推广到下面这个一般结论：已知某一时刻水面上任意一点的波幅，那么，在下一时刻，任意一点的波幅就等于与该点紧邻的前、后、左、右四点的波幅的和除以2、再减去该点的波幅。

应该注意到，水在实际中是存在阻尼的，否则，用上面这个公式，一旦你在水中增加一个波源，水面将永不停止的震荡下去。所以，还需要对波幅数据进行衰减处理，让每一个点在经过一次计算后，波幅都比理想值按一定的比例降低。这个衰减率经过测试，用1/32比较合适，也就是1/2^5。可以通过移位运算很快的获得。

到这里，水波特效制作中最艰难的部分已经度过了，下面是源程序中计算波幅数据的代码。

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//计算波能数据缓冲区
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void RippleSpread()
{
for (int i=BACKWIDTH; i<BACKWIDTH*BACKHEIGHT-BACKWIDTH; i++)
{
//波能扩散
buf2[i] = ((buf1[i-1]+
buf1[i+1]+
buf1[i-BACKWIDTH]+
buf1[i+BACKWIDTH])
>>1)
- buf2[i];
//波能衰减
buf2[i] -= buf2[i]>>5;
}

//交换波能数据缓冲区
short *ptmp =buf1;
buf1 = buf2;
buf2 = ptmp;
}

好了，下面再来根据算出的波幅数据对页面进行渲染。

因为水的折射，当水面不与我们的视线相垂直的时候，我们所看到的水下的景物并不是在观察点的正下方，而存在一定的偏移。偏移的程度与水波的斜率，水的折射率和水的深度都有关系，如果要进行精确的计算的话，显然是很不现实的。同样，我们只需要做线形的近似处理就行了。因为水面越倾斜，所看到的水下景物偏移量就越大，所以，我们可以近似的用水面上某点的前后、左右两点的波幅之差来代表所看到水底景物的偏移量。

在程序中，用一个页面装载原始的图象，用另外一个页面来进行渲染。先用Lock函数锁定两个页面，取得指向页面内存区的指针，然后用根据偏移量将原始图象上的每一个象素复制到渲染页面上。进行页面渲染的代码如下：（下面的代码为了便于理解，并没有进行优化，实际上，优化后的代码比它要麻烦许多）

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//根据波能数据缓冲区对离屏页面进行渲染
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void RenderRipple()
{
//锁定两个离屏页面
DDSURFACEDESC ddsd1, ddsd2;
ddsd1.dwSize = sizeof (DDSURFACEDESC);
ddsd2.dwSize = sizeof(DDSURFACEDESC);
lpDDSPic1->Lock(NULL, &ddsd1, DDLOCK_WAIT, NULL);
lpDDSPic2->Lock(NULL, &ddsd2, DDLOCK_WAIT, NULL);

//取得页面象素位深度，和页面内存指针
int depth=ddsd1.ddpfPixelFormat.dwRGBBitCount/8;
BYTE *Bitmap1 = (BYTE*)ddsd1.lpSurface;
BYTE *Bitmap2 = (BYTE*)ddsd2.lpSurface;

//下面进行页面渲染
int xoff, yoff;
int k = BACKWIDTH;
for (int i=1; i<BACKHEIGHT-1; i++)
{
for (int j=0; j<BACKWIDTH; j++)
{
//计算偏移量
xoff = buf1[k-1]-buf1[k+1];
yoff = buf1[k-BACKWIDTH]-buf1[k+BACKWIDTH];

//判断坐标是否在窗口范围内
if ((i+yoff )< 0 ) {k++; continue;}
if ((i+yoff )> BACKHEIGHT) {k++; continue;}
if ((j+xoff )< 0 ) {k++; continue;}
if ((j+xoff )> BACKWIDTH ) {k++; continue;}

//计算出偏移象素和原始象素的内存地址偏移量
int pos1, pos2;
pos1=ddsd1.lPitch*(i+yoff)+ depth*(j+xoff);
pos2=ddsd2.lPitch*i+ depth*j;

//复制象素
for (int d=0; d<depth; d++)
Bitmap2[pos2++]=Bitmap1[pos1++];
k++;
}
}
//解锁页面
lpDDSPic1->Unlock(&ddsd1);
lpDDSPic2->Unlock(&ddsd2);
}


增加波源

俗话说：无风不起浪，为了形成水波，我们必须在水池中加入波源，你可以想象成向水中投入石头，形成的波源的大小和能量与石头的半径和你扔石头的力量都有关系。知道了这些，那么好，我们只要修改波能数据缓冲区buf，让它在石头入水的地点来一个负的“尖脉冲”，即让buf[x,y]=-n。经过实验，n的范围在（32~128）之间比较合适。

控制波源半径也好办，你只要以石头入水中心点为圆心，画一个以石头半径为半径的圆，让这个圆中所有的点都来这么一个负的“尖脉冲”就可以了（这里也做了近似处理）。

增加波源的代码如下：

//*****************************************************
//增加波源
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void DropStone(int x,//x坐标
int y,//y坐标
int stonesize,//波源半径
int stoneweight)//波源能量
{
//判断坐标是否在屏幕范围内
if ((x+stonesize)>BACKWIDTH ||
(y+stonesize)>BACKHEIGHT||
(x-stonesize)<0||
(y-stonesize)<0)
return;

for (int posx=x-stonesize; posx<x+stonesize; posx++)
for (int posy=y-stonesize; posy<y+stonesize; posy++)
if ((posx-x)*(posx-x) + (posy-y)*(posy-y) < stonesize*stonesize)
buf1[BACKWIDTH*posy+posx] = -stoneweight;
}

　

好了，至此，水波特效的制作原理就此就全部揭示了。在上面的推导中，每一步都进行了很多看似非常过分的近似处理，但是，你完全不必担心，事实证明，用这种方法，在速度和图象上都可以获得非常好的效果。源程序中有非常详尽的注释，仔细推敲一下，看懂它们应该不成问题。

这个程序是Win32下的DirectX编程，没有使用任何包装库。在我的电脑上（AMDK6-200、2MVRam、64MSRam），320x240的画面大小，每秒可以达到25帧。与前几个程序不一样，这个程序使用了窗口模式，所以调试起来很方便。如果你对窗口模式编程不熟悉，这个程序也是一个很好的例子。

这种用数据缓冲区对图象进行水波处理的方法，有个最大的好处就是，程序运算和其示的速度与水波的复杂程度是没有关系的，无论水面是风平浪静还是波涛汹涌，程序的fps始终保持不变，这一点你研究一下程序就应该可以看出来。实际上，如果你掌握了这种方法，将这种方法推广一下，完全可以做出另外一些特殊的效果，如烟雾、大气、阳光等，我现在也正在研究这些特效的制作，相信不久以后就会有新的收获。