Ax=b：秩与方程组可解性和解的结构

列空间与零空间： https://www.bilibili.com/video/av6240005/

MIT 求解Ax=b： https://open.163.com/movie/2010/11/V/8/M6V0BQC4M_M6V2ABHV8.html

秩可以理解为矩阵A列的线性组合所张成的空间维度数-列空间维度数

本课讨论AX=b的解情况，根据教授的思路，A矩阵（m row X n col）经过化简可得到以下几种情况，A化简成包含0行或F列的最简形式，如果包含0行，说明b必须满足某种条件才有解，如包含F列，说明有自由变量，则有无穷多个解。可总结得以下情况：

1、满秩情况，r=n=m,化简形式无0行，无F列，无0行则任意b可解，无F列则没有多解，因此对任意b只有1个解。

这些向量就可以组合成Rn空间内任意的向量了，即无论b为何值一定有解，但由于必须要所有的向量共同组合才能到达整Rn空间任意坐标点，所以每个向量的伸缩必须时特定的量，即x只有一组解。

2、对于行满秩（fullrow rank），即r=mr=m

即A中的部分向量伸缩组合就可以到达Rn空间的任意坐标点。那么这里就存在着自由向量了，无论b取空间里的什么位置，你可以先随意伸缩你的自由向量得到一个新向量，然后通过那部分可以完全到达Rn空间的向量与这个新向量一起进过特定的收缩得到向量b。只要自由向量的伸缩量改变那么其它向量的收缩量也要跟着改变，那么X就有无穷多组解。（用x的表达公式来描述就是你可以用A中部分向量（m个主元向量）伸缩组合得到b(此为特解）并且再通过m个主元向量与另外n-m个自由向量随意组成0向量，就可以得到无穷多个x组了）

3、对于列满秩（full columnrank），即r=nr=n < m,化简形式有0行，无F列，则对特定的b（满足0行条件方程）可解，且只有1个解，故为0解或1解。

当向量所占维数等于向量的个数小于Rn空间的维数时，即A中的向量无论怎么伸缩组合只达到Rn空间中的一个子空间。那么当b在这个子空间时那么A通过特定的伸缩可以到达这一坐标点即X有一组解（这里由于没有自由向量所以没有多解的情况，不要存在b只占子空间部分维数留另外的给自由向量的想法，b在r的每个方向都有值，0也是值。就拿子空间为3维空间举例，如果b只在xy平面内，Z仍然需要进行收缩，缩为0，不是自由的）。如果b没在这一子空间内，那么无论A中向量如何收缩都不能得到即无解（同样拿三维举例，如果A中的向量只在xy平面那么如果b为（1 2 3）你如何收缩取得？）

4、r

当向量所占的维数小于向量的个数小于Rn空间的个数时，即A中的向量只能覆盖Rn空间的一个子空间但在这子空间有自由向量，那么如何b在这个子空间内那么情况和第二点相同，X有无穷多组解；如果b在子空间之外，X无论如何收缩都不能达到，无解。