Ax=b:秩与方程组可解性和解的结构

列空间与零空间: https://www.bilibili.com/video/av6240005/

MIT 求解Ax=b: https://open.163.com/movie/2010/11/V/8/M6V0BQC4M_M6V2ABHV8.html

秩可以理解为矩阵A列的线性组合所张成的空间维度数-列空间维度数

本课讨论AX=b的解情况,根据教授的思路,A矩阵(m row X n col)经过化简可得到以下几种情况,A化简成包含0行或F列的最简形式,如果包含0行,说明b必须满足某种条件才有解,如包含F列,说明有自由变量,则有无穷多个解。可总结得以下情况:

1、满秩情况,r=n=m,化简形式无0行,无F列,无0行则任意b可解,无F列则没有多解,因此对任意b只有1个解。

这些向量就可以组合成Rn空间内任意的向量了,即无论b为何值一定有解,但由于必须要所有的向量共同组合才能到达整Rn空间任意坐标点,所以每个向量的伸缩必须时特定的量,即x只有一组解。

2、对于行满秩(fullrow rank),即r=mr=m

即A中的部分向量伸缩组合就可以到达Rn空间的任意坐标点。那么这里就存在着自由向量了,无论b取空间里的什么位置,你可以先随意伸缩你的自由向量得到一个新向量,然后通过那部分可以完全到达Rn空间的向量与这个新向量一起进过特定的收缩得到向量b。只要自由向量的伸缩量改变那么其它向量的收缩量也要跟着改变,那么X就有无穷多组解。(用x的表达公式来描述就是你可以用A中部分向量(m个主元向量)伸缩组合得到b(此为特解)并且再通过m个主元向量与另外n-m个自由向量随意组成0向量,就可以得到无穷多个x组了)

3、对于列满秩(full columnrank),即r=nr=n < m,化简形式有0行,无F列,则对特定的b(满足0行条件方程)可解,且只有1个解,故为0解或1解。

当向量所占维数等于向量的个数小于Rn空间的维数时,即A中的向量无论怎么伸缩组合只达到Rn空间中的一个子空间。那么当b在这个子空间时那么A通过特定的伸缩可以到达这一坐标点即X有一组解(这里由于没有自由向量所以没有多解的情况,不要存在b只占子空间部分维数留另外的给自由向量的想法,b在r的每个方向都有值,0也是值。就拿子空间为3维空间举例,如果b只在xy平面内,Z仍然需要进行收缩,缩为0,不是自由的)。如果b没在这一子空间内,那么无论A中向量如何收缩都不能得到即无解(同样拿三维举例,如果A中的向量只在xy平面那么如果b为(1 2 3)你如何收缩取得?)

4、r

当向量所占的维数小于向量的个数小于Rn空间的个数时,即A中的向量只能覆盖Rn空间的一个子空间但在这子空间有自由向量,那么如何b在这个子空间内那么情况和第二点相同,X有无穷多组解;如果b在子空间之外,X无论如何收缩都不能达到,无解。

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