在银行存一年钱最多可以得到多少利息？

问题

在银行放100元一年，可以收到多少利息（银行1年储蓄利率是10%）？

直觉的答案（第一种策略）

$$100\ast 10\%=10(元)$$
但，这就是所能得到的最多的利息吗？

可以获得更多利息的策略

第二种策略：存半年后取出，然后再把收到的本息和存入银行
半年后，收到的本息和为
$$100\ast (1+\frac{10\%}{2})=105(元)$$
然后再次存入，最后得到的利息为
$$105\ast (1+\frac{10\%}{2})-100=10.25(元)$$
第三种策略：每存一个季度后就取出，然后把收到的本息和继续存入银行
$$100\ast (1+\frac{10\%}{4}{)}^4-100\approx 10.38(元)$$
第四种策略：每存一个月后就取出，然后把收到的本息和继续存入银行
$
$$100\ast (1+\frac{10\%}{12}{)}^{12}-100\approx 10.47(元)$$
第五种策略：每存一天后就取出，然后把收到的本息和继续存入银行
$$100\ast (1+\frac{10\%}{365}{)}^{365}-100\approx 10.52(元)$$

策略	利息收入
第一种策略（年初存、年末取）	10元
第二种策略（存半年取出，再存入）	10.25元
第三种策略（每存一个季度后取出，再存入）	10.38元
第四种策略（每存一个月后取出，再存入）	10.47元
第五种策略（每存一天后取出，再存入）	10.52元

思考：很显然，第五种策略也不是理论上的最高收益，因为还可以半天取出、一小时取出等等，下面借助于数学进行分析。

数学分析

收益公式

从第一种策略到第五种策略中变化的是每年复利的次数，在金融工程中用复利频率一词来进行表示，即第一种策略的复利频率是1，第三种策略的复利频率是4，而第五种策略的复利频率是365。

在此基础上，我们可以归纳出如下的收益公式：将数量为A的资金投资n年，假设利率是一年复利$m$次，那么投资的终值为
$$A(1+\frac{R}{m}{)}^{mn}$$
显然，复利频率$m$趋于无穷大时得到的结果就是理论上能得到的最高收益，即
$$\underset{m\to +\infty }{\lim }A(1+\frac{R}{m}{)}^{mn}$$

最高收益公式

预备知识

在计算最高收益之前，先介绍两个微积分中常用的极限公式
$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }ln(1+x)=x \\ \underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e \end{gathered}$$

第一种方法

首先，令
$$y=\underset{m\to +\infty }{\lim }A(1+\frac{R}{m}{)}^{mn}$$
然后，对两边取对数，可以得到
$$lny=lnA+\underset{m\to +\infty }{\lim }mn(1+\frac{R}{m})$$
由于$\underset{x\to 0}{\lim }ln(1+x)=x$（预备知识中的第一条）
因此$\underset{\frac{R}{m}\to 0}{\lim }(1+\frac{R}{m})=\frac{R}{m}$
因此，
$$lny=lnA+mn\frac{R}{m}=lnA+nR=lnA{e}^{nR}$$
然后，就可以得到最终的最高收益公式
$$y=A{e}^{nR}$$

第二种方法

对式子进行相应的转化
$$y=\underset{m\to +\infty }{\lim }A(1+\frac{R}{m}{)}^{mn}=A[\underset{\frac{R}{m}\to 0}{\lim }(1+\frac{R}{m}{)}^{\frac{m}{R}}{]}^{nR}$$
由于$\underset{\frac{R}{m}\to 0}{\lim }(1+\frac{R}{m}{)}^{\frac{m}{R}}=e$（预备知识中的第二条）
所以
$$y=A{e}^{nR}$$

答案

根据公式$y=A{e}^{nR}$可以计算得到理论上的最多利息为
$$100\ast e^{0.1}-100\approx 10.52(元)$$
这个精确到小数点后两位的数值与第五种策略（按天复利）所得的结果一样。在大多数实际情况下，我们可以认为连续复利与每天复利等价，但实际上还是有一定的差异的。
$$100\ast (1+\frac{10\%}{365}{)}^{365}-100\approx 10.5156(元)$$
$$100\ast e^{0.1}-100\approx 110.5171(元)$$

连续复利利率

在金融工程中。复利频率m趋于无穷大时所对应的利率叫连续复利（continuous compounding）利率，该利率在衍生产品定价中的应用非常广泛。对一笔资金以利率R连续复利n年相当于乘上$e^{Rn}$ 项。而对一笔在第n年后的资金以利率R按连续复利进行贴现，其效果是相当于乘上$e^{-Rn}$。