python判断孪生质数对（素数对）并计算个数。

很久前在知乎写的一个答案，今天把坑填了，顺便搬过来。

让我们定义dn为：dn=pn+1−pn，其中pi是第i个素数。显然有d1=1，且对于n>1有dn是偶数。
“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。 现给定任意正整数N(<10^5)， 请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。

而且题目还限制了400ms时间（有没有搞错(╯‵□′)╯︵┻━┻）

写出的第一个程序在最大值情况下运行时间超过10秒 (；′⌒`)

后来在网上看到了一个人的回答，使用到了初中时学到的数学知识:

假如一个数N是合数,它有一个约数a,那么有a×b=N
则a、b两个数中必有一个大于或等于根号N,一个小于或等于根号N。
因此,只要小于或等于根号N的数（1除外）不能整除N,则N一定是素数。
原谅我数学没学好，依照这个思路 我写了下面这个程序：

import math   #使用 math 模块来开平方
import time   #计算程序运行时间
num = int(input())    #输入一个整数
s = 0                 #计算质数对的个数
start = time.time()    #计算开始时间


def f1(n):
    if n <= 1:
        return False
    else:
        for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):   #这里 +1是将开方后的结果包含在内
                if n % i == 0:
                    return False              
        return True           


for i in range(1, num+1):
    if f1(i) is True and f1(i + 2) is True and (i + 2) <= num: #最后的条件是限制素数对超过N
        s += 1
end = time.time()           #结束时间
print(s)                    #打印素数对个数
print(end - start)          #输出运行时间

嗯 这就是大概的逻辑，最后时间大大缩短，用100000来实验，时间是0.4561。略微超过了400ms。

怎么办…… 于是继续找，总有人跟我遇到一样的问题嘛？

最后还真找到了！

要想继续优化缩短运行时间，就是按照上面的思路来排除多余的工作量。既然我们已经排除了一半，那是不是还能排除跟多呢？

废话！当然可以啦~（不然也不会写到这里）

首先想到的就是偶数！ 除了2以外，显然偶数不是素数。好的，又排除了一半。

顺着思路，那么奇数里面能被3，被5整除的也要排除。

顺着这个思路 我们得到这个代码：

import math     # 使用 math 模块来开平方
import time     # 计算程序运行时间
num = int(input())    # 输入一个整数
s = 0                 # 计算质数对的个数
start = time.time()    # 计算开始时间


def f1(n):
    if n <= 1:
        return False
    elif n % 2 == 0 and n != 2:     # 去除能被2整除的  不包括2（其实也可以包括2，以为2没有素数对）
        return False
    elif n % 3 == 0 and n != 3:     # 去除能被3整除的  不包括3
        return False
    elif n % 5 == 0 and n != 5:     # 去除能被5整除的  不包括5
        return False
    elif n % 7 == 0 and n != 7:     # 去除能被7整除的  不包括7
        return False
    else:
        for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):   # 这里 +1是将开方后的结果包含在内
                if n % i == 0:
                    return False
        return True


for i in range(1, num+1):
    if f1(i) is True and f1(i + 2) is True and (i + 2) <= num:  # 最后的条件是限制素数对超过N
        s += 1
end = time.time()
print(s)
print(end - start)

用 100000 来实验，得到的时间是207ms！！！ 合格啦！！！ 少了一半多！ 但是能不能更少呢？

还真能！

要想再简化，就不得不了解孪生质数的性质和分布规律。

一. 当n≥5时，如果一个n-1,n+1互为孪生质数，则n必定是6的倍数

• 简要证明：因为：n - 1，n + 1是质数
  • 故 ：n - 1 ，n + 1是奇数
  • 可知：n 是 偶数，n 是 2 的倍数。
  • 假设：n 不是 3 的倍数，即 n = 3k + 1 或 n = 3k + 2。
    • (a) 当 n = 3k + 1 时，那么 n - 1 = 3k,已经与 n - 1 是质数矛盾。
    • (b) 当 n = 3k + 2 时， 那么 n +１＝3(k + 1),已经与 n + 1是质数矛盾。
    • 故：n 是 3 的倍数。
    • 因为：n既是2的倍数，又是3的倍数
    • 故：n 是6的倍数。

得出：
推论一：当 x >= 1, (6x - 1)或 (6x + 1)不是质数时，即
2(3x) - 1, 3(2x) - 1,
2(3x) + 1, 3(2x) + 1，为合数时，
它们的质因子不包括2和3的倍数。（合数为可分解为多个质数的乘积）

二. 对于大于3的质数，只分布在6x-1和6x+1两数列中(x为非0自然数)。即都在6的倍数的两侧。

也就是说，大于5的质数一定在6x两侧，但是6x的两侧不一定是质数。

6x-1数列中的素数为阴性素数，合数为阴性合数
6x+1数列中的素数为阳性素数，合数为阳性合数

好了，依照之前的和以上两个性质的思路。

可知，对于大于3的孪生质数

1. 5+6n数列中，素数必定为阴性素数，且合数也不能被2,3整除，所以是否能被2,3整除不用判断
2. 只需满足5+6n和7+6n同时为素数，即都不能被5或7 整除即可。

代码如下：

import math     # 使用 math 模块来开平方
num = 100000
s = 1  # 默认考虑（3，5）
def f1(n):
    if n == 5 or n == 7:
        return True
    elif n % 5 == 0 and n % 7 == 0:
        return False
    else:
        for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 1):   # 这里 +1是将开方后的结果包含在内。
                if n % i == 0:
                    return False
        return True


for i in range(5, num+1, 6):
    if f1(i) and f1(i+2) and (i+2)<=num:  # 最后的条件是限制素数对超过N
        s += 1
#         print((i,i+2),s)
print(s)

最终用时为 85ms！！！，又少了一半多！！！

这个是从判断是否为孪生素数对的角度来寻找思路，对于是否为素数，我想也没必要赘述了。按照以上思路写就可以了。

其实从这个小练手让我学到了一件事，在做一些事情之前，不要一开始就闷着头干，先思考，分析，才能真正抓住事情的本质，得出更满意的结果。