跳表

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二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。不过，只需要对链表稍加改造，就可以支持类似“二分”的查找算法。而这改造之后的数据结构叫做跳表。跳表是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速地插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 O(logn)。Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表来实现的。

理解跳表

对于单链表来讲，查找的时间复杂度为O(n)。可以通过下面方法进行优化，每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。

如果现在要查找某个结点，比如 16。可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。

在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

以上例子优化不够明显，下面这个例子更加清洗明显。画一个包含 64 个结点的链表，按照前面的思路，建立五级索引。

原来没有索引的时候，查找 62 需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点。所以，当链表的长度 n 比较大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。

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跳表查询

跳表这种数据结构可以快速删除、插入、查找操作，那这些操作的执行效率是多少呢？可以是用时间复杂度和空间复杂度来度量。

时间复杂度

跳表查询的时间复杂度比较难分析。

把问题分解一下，先来看这样一个问题，如果链表里有 n 个结点，会有多少级索引呢？

每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2^k)。
假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2^h)=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m=3，为什么是 3 呢？

假设要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度都为O(logn)，和二分查找一样。不过，因为建立了许多的索引，会占用更多的空间。

空间复杂度

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？

跳表的空间复杂度分析并不难，假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

有没有办法降低索引占用的内存空间呢？

前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？

从图中可以看出，第一级索引需要大约 n/3 个结点，第二级索引需要大约 n/9 个结点。每往上一级，索引结点个数都除以 3。

通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

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跳表插入

对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)。

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跳表删除

如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。 因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。

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跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。

所以解决办法就是当我们往跳表中添加数据的时候，可以选择同时将数据添加到部分索引中，我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。