矩阵树定理整理及总结

注:本文章内容主要摘取自周冬的PPT。
解决问题:生成树计数。
图的关联矩阵

• 对于无向图G，我们定义它的关联矩阵B是一个n*m的矩阵，并且满足：
  如果eiei=(vi，vj)，那么BikBik和BjkBjk一个为1，另一个为-1，而第k列的其他元素均为0。

• 图G的关联矩阵如右下角所示：
  

• 图的关联矩阵有什么特殊的性质呢？我们不妨来考察一下B和它的转置矩阵BTBT的乘积。
  根据矩阵乘法的定义，我们可以得到：
  
  也就是说，BBTijBBijT是B第i行和第j行的内积。
  因此，当i=j时， BBTijBBijT的度数；而当i≠j时，如果存在边(vi，vj)，那么BBTijBBijT=-1，否则BBTijBBijT=0。
  我们通常将BBTBBT称为图的Kirchhoff矩阵。
  当然 Kirchoff矩阵也可以这样计算:设A为图的邻接矩阵，D为图的度数矩阵。那么C=D-A.

图的Kirchhoff矩阵

• 对于无向图G，它的Kirchhoff矩阵C定义为它的度数矩阵D减去它的邻接矩阵A。显然，这样的定义满足刚才描述的性质。
• 有了Kirchhoff矩阵这个工具，我们可以引入Matrix-Tree定理：
  对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。
  所谓n-1阶主子式，就是对于任意一个r，将C的第r行和第r列同时删去后的新矩阵，用Cr表示。

让我们通过一个例子来解释一下定理。如图所示，G是一个由5个点组成的无向图。

它的Kirchhoff矩阵C为

我们取r=2，根据行列式的定义易知|detC2C2 | =11，这11颗生成树如下图所示。

这个定理看起来非常“神奇”，让我们尝试着去证明一下吧！

定理证明

• 经过分析，我们可以发现图的Kirchhoff矩阵C具有一些有趣的性质：
  C的行列式总是0。
  如果图是不连通的，则C的任一个n-1阶主子式的行列式均为0。
  如果图是一颗树，那么C的任一个n-1阶主子式的行列式均为1。
  证明略。

我们知道，C=BBTBBT，因此，我们可以把C的问题转化到BBTBBT上来。
设BrBr为B去掉第r行得到的矩阵，容易知道CrCr =BrBTrBrBrT。这时，根据Binet-Cauchy公式，我们可以将CrCr的行列式展开。

其中， 是把BrBr中属于x的列抽出后形成的新矩阵。
注意观察上面的式子, BxrBxTrBrxBrxT实际上是图Gx的Kirchhoff矩阵的一个n-1主子式。其中GxGx是由所有的顶点和属于x的边组成的一个G的子图。
若属于x的n-1条边形成了一颗树时，由Kirchhoff矩阵的性质可知det(BxrBxTrBrxBrxT)等于1。
若属于x的n-1条边没有形成树，则Gx中将至少含有两个连通块，这时det(BxrBxTrBrxBrxT)等于0。
因此，我们认为：每次从边集中选出n-1条边，若它们形成了生成树，则答案加1，否则不变。

定理的理解

• 当x取遍边集所有大小为n-1的子集后，我们就可以得到原图生成树的个数。这样我们成功证明了定理！

定理的扩展

• 利用该定理，我们可以容易得到著名的Cayley公式：完全图KnKn有nn−2nn−2颗生成树。
  我们刚才只对图中没有重边的情况进行了分析。实际上，图中有重边时该定理仍然成立，并且证明与没有重边的情况类似。
  该定理也可以扩展到有向图上，用来计算有向图的外向树的个数。

Cayley公式的证明
首先计算完全图KnKn的Kirchhoff矩阵的一个n-1阶主子式C1[Kn]C1[Kn]：

下面我们对C1[Kn]进行化简。第2至第n-1列均减掉第一列，得到如下的矩阵：

我们可以发现，除了第一列以外，其他每列都在第一行上有一个-n，在对角线上有一个n，而其他位置上的元素均为0。
现在，我们把第2至第n行都加到第一行上去，可以得到如下矩阵：

再次观察这个矩阵，我们可以发现：在第一行上只有一个1，剩下部分中，只有对角线上的数字为n，其他元素都是0。因此，完全图KnKn的生成树的个数为nn−2nn−2。