说说RSA加密解密的知识

说说RSA加密解密的知识。

 

一般想到的加密方法就是移位，置换字符。比如A变成C，C变成E，如果给每个字母一个数字，比如A为1，B为2类推，用函数表示就是f(p)=(ap+b)mod 26，这种方法很容易被破解。RSA密码系统提供一个公开的加密密钥，但是保留解密密钥，这种方法目前来说非常安全，接下来我们就说说它的原理。

 

RSA是MIT的Ronald Rivest, Adi Shamir, and LeonardAdleman这三个人提出来的，其实在大英帝国的国家通讯总部工作的Clifford Cocks更早就提出来了，但是由于工作性质一直保密嘛，这种机构我们可以理解，可惜就是名字不是以他命名了。

 

加密

在RSA密码系统中，提供一个加密密钥（n,e），其中n=qp，n用来作为模数，相当于除数，p,q是两个非常大的素数，怎么也有个200位吧至少。e是用来作为指数，它和(p-1)(q-1)是互质的（relatively prime），也就是gcd(e,(p-1)(q-1))=1，他们没有公约数除了1（gcd就是最大公约数，可以看看我前面一篇求gcd的文章）。就现在的技术来说，找两个非常大的素数是比较容易的，而把一个非常大的数分解就不那么简单了，也就是找p,q容易，但是从n找p,q就难了。

 

那我们看看它的加密过程，假设有段消息M，我们把他转换成整数序列（就是a用00，b用01.....），然后把这些整数序列分割为等长的部分，比如都含有2N位数字，这里2N是使2N位个252525....的值不超过n的最大偶数，也就是2N位个字符换成的整数组合起来他大小不会超过n，原因我是认为可能是这样求模后的数值都是唯一的。这样M就分成了m1,m2,m3....这些部分。

 

接下来就是加密，利用的算法是（不知道怎么打幂数，只能这样看了）

C = M^e mod n

这样就完成了加密工作，得到了C，可以发送出去了。

解密

解密最重要的是要有解密的密钥d。

 

d是什么东西呢？它是e mod (p-1)(q-1) 的逆，什么叫模的逆呢？就是这样一个数a`，他和a的乘积aa`≡1 (mod m )，这里其实不是=号的，而是一个三横线的符号，叫做同余（后面如果mod是在括号内的都表示同余），打个比方a ≡b (mod m)指 a mod m = b mod m，也就是他们除以m的余数是相等的，这里就是aa' mod m 和 1 mod m 有相同的余数也就是1了，因为1 mod m就是1啊。

那这个数有什么用呢？我们看如果有这样一个d，那么就有de ≡1  (mod (p-1)(q-1))，也就是有一个整数k，他可以使得 de = k(p-1)(q-1) +1 ，这样就有 （写^实在不方便阅读，大家可以拿起纸笔自己写一下更直观）

C^d ≡(M^e)^d (mod n) = M^ed ≡M^(1+k(p-1)(q-1)) (mod n)

根据费马的小数理论（又是个新东西，其实很简单的理论，当然证明就呵呵），即如果p是一个素数，a是一个不能整除p的整数，那么 a^(p-1) ≡1 (mod p)，再假设gcd(M,p) = gcd(M,q) =1（这只在极其个别情况下不成立，不解释过多），那么就有M^(p-1) ≡1 (mod p) 和 M^(q-1) ≡1 (mod q)，这样就有

C^d ≡M*M^(p-1)k(q-1) =M *1 (mod p)

C^d ≡M*M^(q-1)k(p-1) =M *1 (mod q)

其实这里我有点不理解，估计是前面学习模数的性质没有好好看，就是前面是C^d = M^de (mod n) 现在又可以换成 C^d ≡M^de (mod p)，我认为可能是因为n = pq，这里面可以转换证明一下吧。好吧，我自己证明了一下（不关心的可以自行跳过，让我自己自娱自乐吧）：

假设有 a ≡b (mod n) ，其中 n=pq，那么是否a ≡b (mod p)？

根据假设我们有 a mod n = b mod n ，也就是存在 k1 和 k2 使得 

a - k1*n = b - k2*n  即 a - b = k1*n - k2*n = n( k1- k2) = pq(k1-k2) = p( k1*q - k2*q)

假设k1*q = x1 ，k2*q = x2，那么 

a - b = x1*p - x2*p 即 a - x1*p = b - x2*p 

所以a mod p = b mod p ，得证！哈哈。

接着我们上面的，这里用到中国余数定理，是这样说的

设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,...,k

则同余方程组：

x≡b1 （mod m1）

x≡b2 （mod m2）

...

x≡bk （mod mk)

模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x≡bi mod [m1,m2,...,mk],i = 1,2,...,k

也就有：C^d≡M (mod pq) 也就是C^d ≡ M (mod n)，这里注意到M (mod n) 其实就等于M，这由前面分块时候M得到保证。

 

这样我们就得到了解密的方法，即 M = C^d mod n。

 

举例子。以后有时间再加吧，主要是个概念。

 

我们知道，找到两个大素数p,q和与（p-1）（q-1）互质的e是比较简单的，知道了p,q，也很容易通过欧几里德算法来求出e mod (p-1)(q-1)的逆，但是知道n求p,q是非常困难的，不信你拿个10位的试试。所以RSA是发展的比较好的加密方法，很多地方用。

 

再说说密码协议（Cryptographic Protocols），密码协议可以保证两人之间在未加密的通道上传输加密信息，也可以数字签名的功能。

 

假设有两个人从来没有联系过，他们怎么产生一个共用的key呢？Diffie-Hellman key agreement protocol 就是解决这个问题的。假设我和你想共用一个公共密钥，那么我们可以这么做：

1．我们都同意使用素数p和一个p的原根a （原根概念请维基百度之）

2．我选了一个自己知道的整数k1，然后把a^k1 mod p 发给你

3．你也选一个整数k2，然后把a^k2 mod p发给我

4．我算出 a^(k2*k1) mod p， 你算出 a^(k1*k2) mod p，两个其实是一样的

这样我们就有了公共key了，虽然p,a,a^k1 mod p,a^k2 mod p的值暴露了，但是只要k1,k2没人知道，那公共密钥a^(k2*k1) mod p就没人知道了。要破解，只能从a^k1 mod p,a^k2 mod p里面解出k1,k2来，这难度您想想吧。

 

数字签名就是保证信息来源自正确的那个人。简单说说实现方法，假设我有公共密钥（n,e），一个只有我自己知道的解密密钥d，我加密的话是采用E(n,e)(x) = x^e mod n，.解密是采用方程D(n,e) = x^d mod n。那怎么实现数字签名呢，其实很简单，我只要把信息采用解密方程来加密，就是使用D(n,e)对信息进行处理，然后把得到的数据再发送出去，当接受者收到信息时，采用加密方程来解密，也就是E(n,e)(D(n,e)) = x，这样既可以保证信息是加密的，又保证了信息的来源。那同样的，如果双方都有各自的公共密钥和解密密钥，那么我们就可以先用自己的解密密钥来添加签名，然后用接受者的公共密钥来加密信息，这样得到的数据既是签名的也是加密过的，接受者收到信息后，先用自己的解密密钥来解密，然后用发送者的公共密钥来解密，这样就好了。原理还是挺简单的吧。

 

（以上信息参考了《离散数学及其应用》一书）