时域和频域之间联系

作者：李泽光
链接：https://www.zhihu.com/question/21040374/answer/99545573
来源：知乎
著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。

傅里叶分析和应用

学过《信号与系统》和《复变函数》等课程的人往往会被许多问题所困惑，如：

（1）周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数物理意义是什么？

（2）频谱表示什么？

（3）通过频谱我们能知道什么？

（4）非周期信号的傅里叶变换到底是什么意思？傅里叶变换的物理意义？

（5）复数形式的傅里叶变换的物理意义？

（6）对信号用频域分析有什么好处？

（7）为什么周期信号的傅里叶变换在相应频率处出现冲激函数？

上述问题尽管看上去有些零碎，其实它们是有联系的，下面，我从头到尾把这些问题串起来， 内容可能比较多，如果你想知道结果，则需要你耐心阅读，并希望下面的内容能对你有所帮助，更详细的内容和应用还请参见我写的《信号与系统分析和应用》一书，本书在高等教育出版社出版发行。

一、周期信号的傅里叶级数和信号频谱

1、周期信号的三角函数形式傅里叶级数和信号频谱

（1）周期信号三角函数形式的傅里叶级数

请注意：为什么我把周期信号三角函数形式的傅里叶级数写成下面的形式，而不是公式（4.2-8）的形式？因为只有这样才能充分理解信号频谱以及频谱的作用、傅里叶系数、非周期确知信号的傅里叶变换的物理意义，才能充分理解我写的下面的内容。

<img src="https://pic3.zhimg.com/87f3f3eff5dcb790f5f8f87755214fce_b.png" data-rawwidth="572" data-rawheight="532" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="572" data-original="https://pic3.zhimg.com/87f3f3eff5dcb790f5f8f87755214fce_r.png"><img src="https://pic3.zhimg.com/0eaffaeecedb1e86070b846d3f1c4cf2_b.png" data-rawwidth="562" data-rawheight="724" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="562" data-original="https://pic3.zhimg.com/0eaffaeecedb1e86070b846d3f1c4cf2_r.png"><img src="https://pic1.zhimg.com/b6ea92fad9f8abe713b792ef5bff10d4_b.png" data-rawwidth="568" data-rawheight="200" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="568" data-original="https://pic1.zhimg.com/b6ea92fad9f8abe713b792ef5bff10d4_r.png"><img src="https://pic4.zhimg.com/5cbdc6190291fd235c3611a02489c28b_b.png" data-rawwidth="565" data-rawheight="771" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="565" data-original="https://pic4.zhimg.com/5cbdc6190291fd235c3611a02489c28b_r.png">可以看到，信号频谱的作用就是用图形（频谱图）或公式（向量形式）来表示组成这个周期信号的所有不同频率的余弦信号的“三参数” （幅度、初相和频率或角频率）。从频谱图上，我们就能看到原周期信号含有的所有频率的余弦（或正弦）信号的幅度和相位的大小，也就知道了周期信号含有的所有频率成分以及这些频率成分对原信号的贡献大小。上面图（c）是将图（a）和（b）合成一个图（合成的原则请参见《信号与系统分析和应用》书）。

<img src="https://pic3.zhimg.com/917483da8d3f9c74bc45549674bd2542_b.png" data-rawwidth="567" data-rawheight="811" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="567" data-original="https://pic3.zhimg.com/917483da8d3f9c74bc45549674bd2542_r.png"><img src="https://pic1.zhimg.com/c97b3960f096611c6bee35311df5850c_b.png" data-rawwidth="566" data-rawheight="616" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="566" data-original="https://pic1.zhimg.com/c97b3960f096611c6bee35311df5850c_r.png"><img src="https://pic4.zhimg.com/8d00d60e25d453f4f21f14b93b72e0af_b.png" data-rawwidth="391" data-rawheight="435" class="content_image" width="391"><img src="https://pic3.zhimg.com/18c01dcbfa0673da8e86d2d54f4b4b76_b.png" data-rawwidth="568" data-rawheight="314" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="568" data-original="https://pic3.zhimg.com/18c01dcbfa0673da8e86d2d54f4b4b76_r.png">二、非周期确知信号的傅里叶变换

这里要注意：不是从傅里叶级数过渡到傅里叶变换，而是由傅里叶系数过渡到傅里叶变换。

<img src="https://pic1.zhimg.com/7e74801ec55746b75c8428f43d340910_b.png" data-rawwidth="562" data-rawheight="818" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="562" data-original="https://pic1.zhimg.com/7e74801ec55746b75c8428f43d340910_r.png"><img src="https://pic1.zhimg.com/8fc36a7036d088a4d6d7be5e954afd74_b.png" data-rawwidth="561" data-rawheight="735" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="561" data-original="https://pic1.zhimg.com/8fc36a7036d088a4d6d7be5e954afd74_r.png"><img src="https://pic3.zhimg.com/1a8c63923d7a496d26e6aacad7eafb92_b.png" data-rawwidth="562" data-rawheight="104" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="562" data-original="https://pic3.zhimg.com/1a8c63923d7a496d26e6aacad7eafb92_r.png">
三、周期信号的傅里叶变换以及冲激函数的作用

<img src="https://pic1.zhimg.com/5a7e619e45ca8efbde8a544d93305a00_b.png" data-rawwidth="566" data-rawheight="789" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="566" data-original="https://pic1.zhimg.com/5a7e619e45ca8efbde8a544d93305a00_r.png"> <img src="https://pic1.zhimg.com/d3e2631aa9fd71ea867127d027606f38_b.png" data-rawwidth="497" data-rawheight="762" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="497" data-original="https://pic1.zhimg.com/d3e2631aa9fd71ea867127d027606f38_r.png"> <img src="https://pic4.zhimg.com/b1dc5c64d6fae13a52b33426c251263b_b.png" data-rawwidth="558" data-rawheight="362" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="558" data-original="https://pic4.zhimg.com/b1dc5c64d6fae13a52b33426c251263b_r.png">

五、其它函数的傅里叶变换及应用

《信号与系统》课程中还涉及到：

（1）“自相关函数”的傅里叶变换；

（2）系统单位冲激响应的傅里叶变换；

（3）离散时间傅里叶变换DTFT；

（4）离散傅里叶变换DFT；

这些傅里叶变换都有其各自的物理意义和作用。