2019多校第四场 HDU6623 Minimal Power of Prime（质因数分解，思维）

链接：HDU6623 Minimal Power of Prime

题意：

给出$T(\le 50000)$个$n(\le 10^{18})$，对$n$进行质因数分解，问分解后质因数的幂最小的是多少?

例如：$108=2^2\ast 3^3$，所以质因数的幂最小是$2$

---

分析：

直接对$n$进行质因数分解的话时间复杂度会达到$O(T\ast n^{\frac{1}{4}})$，会超时。

我们可以仅考虑$10^{18\ast \frac{1}{5}}$，即$10^{3.6}$以内的质因数进行考虑（$10^{3.6}$内质数只有500多个），如果这些质因数最终没有将$n$完全分解（没能令$n=1$)，很明显$n$剩下的可能质因数一定$>10^{3.6}$，那么答案只有4种情况。

1. $n=p^4$，则ans=min(ans, 4)
2. $n=p^3$，则ans=min(ans, 3)
3. $n=p^2或n=p_1^2\ast p_2^2$，则ans=min(ans, 2)
4. 除以上3种情况外，剩余的质因数幂最小一定为1，即ans=1

---

以下代码：

#include
#define LL long long
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=4000;  //约等于10^3.6
int p[maxn],cnt=0;
bool vis[maxn];
void get_prime()      //欧拉筛得到质数表
{
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
            p[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0)
                break;
        }
    }
}
int solve(LL x)
{
    if(x==1)
        return 0;
    int ans=INF,tot;
    for(LL i=1;i<=cnt;i++)
    {
        tot=0;
        while(x%(LL)p[i]==0)
        {
            tot++;
            x/=(LL)p[i];
        }
        if(tot==0)
            continue;
        ans=min(ans,tot);
        if(x==1)     //分解完成，说明所有质因数都在10^3.6以内
            return ans;
    }
    LL k;
    k=round(pow(1.0*x,1.0/4.0));
    if(k*k*k*k==x)
        return min(ans,4);
    k=round(pow(1.0*x,1.0/3.0));
    if(k*k*k==x)
        return min(ans,3);
    k=round(pow(1.0*x,1.0/2.0));
    if(k*k==x)
        return min(ans,2);
    return 1;
}
int main()
{
    get_prime();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL n;
        scanf("%lld",&n);
        printf("%d\n",solve(n));
    }
    return 0;
}