初等矩阵

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

注：初等矩阵都是方阵,每个初等变换都有一个与之对应初等矩阵

1.互换矩阵E的i行与j行的位置

$P(i,j)=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &0& &\cdots& &1\\ & & & &1\\ & & &\vdots& &\ddots& &\vdots\\ & & & & & &1\\ & & &1& &\cdots& &0\\ & & & & & & & &1\\ & & & & & & & & &\ddots\\ & & & & & & & & & &1\end{pmatrix}$

2.用数域P中非零数c乘E的i行

3.把矩阵E的j行的k倍加到i行(i列的k倍加到j列)

初等矩阵与初等变换

引理：对一个矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的初等矩阵,对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的初等矩阵

证明：

初等矩阵的逆矩阵

初等矩阵都是可逆的,且

矩阵等价

定义：若B可由A经过一系列初等变换得到,则称A与B等价

矩阵间的等价满足：自反性、对称性、传递性

标准型

定理：任一矩阵A都与形式如下的矩阵等价

$\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\end{pmatrix}$

称为矩阵A的标准形,主对角线上1的个数等于A的秩(可以为零)

证明：

矩阵等价与初等矩阵

矩阵A,B等价的充要条件是有初等矩阵,使

可逆矩阵与标准形

n级可逆矩阵的秩为n,所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵,反之也成立

可逆与初等矩阵

定理：n级方阵A可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积

推论：两个矩阵A,B等价的充要条件为,存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q使

注：改写定理条件有

推论：可逆矩阵总可以经一系列初等变换化成单位矩阵

求逆矩阵方法

给定n级可逆矩阵A,有一系列初等矩阵使,可得

即,若用一系列初等行变换把可逆矩阵A化成单位矩阵,则同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵可得

把A,E两个矩阵放在一起,作成一个矩阵

按矩阵的分块乘法

方法：作矩阵,用初等行变换把它的左边一半化成E,此时,右边一半即为

注：可逆矩阵也可用初等列变换化成单位矩阵,可用初等列变换求逆矩阵

高等代数理论基础31：初等矩阵

初等矩阵

初等矩阵

初等矩阵与初等变换

初等矩阵的逆矩阵

矩阵等价

标准型

矩阵等价与初等矩阵

可逆矩阵与标准形

可逆与初等矩阵

求逆矩阵方法

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