傅里叶频域，复数域，冲激函数，香农采样（不介绍公式-只介绍是啥）另一种思维

首先先要明确傅里叶是干啥的

任何函数都可以表示为不同频率的正弦/余弦之和的形式。
从这句话就可以理解了，傅里叶是为了分解函数的，就是把一个函数分解成其他若干个简单周期函数，这样我们就可以在数学层面上对一些无法操作的函数进行计算了。
可以间接地认为是用一些函数的组合来拟合一些函数。

为什么会出现频域

确实是很多函数的组合，然而我们如何才能很清晰地看出来这些密密麻麻的堆在一起的函数呢？
最关键的一点就是找到这些堆在一起的函数的不同之处。
不同之处在哪?频率不同，相位不同，幅值不同
然而最好用的计算参数就是频率
因此把频率作为坐标轴，因此我堆在一起的函数就散开了。
每个频率都有每个频率的函数，实际表现在二维图时就是一条一条竖直的曲线。
（这里会有疑问，为什么有些的频域是连续的曲线？那是因为他们在时间域并不是连续的函数，因此他们的组合函数就比较怪异，频率并不是相互独立了，而是出现了非整数频率，在两个频率的间隔还会有值出现，因此它们连成了一条线。你要问我为啥会这样，我这里先不做解释。连续函数的变换叫做傅里叶级数，离散函数的变换交过傅里叶变换。）

复数域具体是啥

C=R+jI

其实大家完全可以理解为就是一个坐标系统x轴为复数实部，y轴为复数虚部，因此上式可以写成（R,I）
其共轭为

C*=R-jI

而另一种写法就是极坐标，引入角度概念忽略坐标概念

C=|C|(cosθ+jsinθ)

其中

|C|=sqrt(R^2+I^2), tanθ=(I/R)

而更常见但是比较难理解的就是欧拉公式

因此我们的复数可以表示为

C=|C|ejθ

例如复数2+3j的极坐标为

sqrt(13)ejθ，其中θ为56.3°

冲激函数……一个别人说很好理解的东西

孩子还是别人家的好，理解还是别人理解的到位，自己为何这么渣……
不是这样的，理解起来并不难，只是需要拐下弯。
一般看冲击函数，你看到的场景是这样的


外形非常简单，但是它是什么鬼？FUCK ME！！！！！！
恕我直言，很多的解释都是垃圾。
其实这里很不好理解的就是f(t)以及积分号
f(t)是一个函数，在这里准确来说是我们的一个系统，我们给这个系统一个输入信号，他就是用f来变换一下给你个输出信号。
然而我们想要知道系统的具体性质时，我们就用到了我们的冲击函数。
我们在不同时间输入冲击函数，我们就可以看到在不同时间我们的系统特性，其实就是我们系统的函数在该时间的取值。当我们用一系列很密的冲击函数进行输入时，我们就能清晰地看到一条近似的曲线，该曲线就是我们的系统函数，有了系统函数那么我们的系统特性就有了。
这里的t可以取为x之类的，只是表示的意义不同了而已。
下面从百度文库摘来几道题，加深一下我们对傅里叶转化的概念和冲激函数的概念的理解。
原网址:

https://wenku.baidu.com/view/c5aa6470caaedd3383c4d33a.html?from=search

整体看下来其实也就明白了，这个是我们冲击函数的作用，用来求解系统的响应，如果你不是以后要从事这个行业的，看了这些其实也就足够了。

采样-香农

很多时候采样也提到了这个函数
我们知道，我们完全可以通过频域的傅里叶逆变换就可以得到原函数，因此为了采样后，函数不失去原有的性质，因此我们需要设法保留频域的特性。
为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。 f s≥2f max
我们在时域进行间隔采样时，其实等同于所需采样函数与以△T为单位间隔的冲击串作为取样函数相乘。




我们可以从图中看出，如果频域采样串过密，就会造成函数的重叠，这样我们就无法恢复了；如果频域采样串较为稀疏，虽然满足我们的需求，能够通过其中一个函数来还原原函数，但是这样会增加我们的计算量，因此我们需要选取合适的采样间隔。
时域的采样间隔为△T，到了频域，变成了1/△T。在这个间隔我们可以看出我们需要两个半个函数，合起来就是一个函数加一个间隔，当我们取临界时，我们的间隔就为0。这个临界对应的大小刚好为一个完整的函数。
所以上面提到了最高频率的二倍，也可以看出来，频域中的原函数，最高频率在右边，对应的负的最高频率在左边，因此这里说的是两倍。
至于为什么是1/△T可以去看一下傅里叶变换，讲得挺清楚的。

本文最后再引用一篇文章，关于傅里叶系数的推导的，值得一看，看完就明白了
https://wenku.baidu.com/view/1ca3fbcada38376baf1faecc.html