线性规划之单纯型算法

问题定义：

问题定义比较复杂，建议看《算法导论》里的线性规划一章。单纯型算法用于求解如下这类问题：

例：

求等式的最小值： -2X₁– 3X₂

且自变量满足如下约束：

X₁ + X₂ = 7

_X1 – 2X₂<= 4

_X1>= 0

将约束等式转换为标准型：

标准型的条件：

1. 求目标函数的最大值

2. 每个自变量都大于等于零（非负约束）

3.约束不等式，只有最小化约束

转换结果如下：

max 2X₁ – 3X₂ + 3X₃

并且满足：

X₁ + X₂- X₃ <= 7

-X₁ – X₂+ X₃ <= -7

X₁ – 2X₂+ 2X₃ <= 4

X₁, X₂, X₃ >= 0

将标准型转换成松弛型：

z = 2X₁– 3X₂ + 3X₃

X₄ = 7- X₁ - X₂ + X₃

X₅ = -7+ X₁ + X₂ - X₃

X₆ = 4- X₁ + 2X₂ - 2X₃

则基本变量为的下标集合 B = {4, 5, 6}

非基本变量的下标集合 N = {1, 2, 3}

C = [ 2 3 3 ]^T

^{b = [ 7 -7 4 ]T}

A	1	1	-1
	-1	-1	1
	1	-2	2

v = 0

具体实现时，将 A， b， C， v都存储在一个数组中

data	0v	2c	-3c	3c
	7b	1A	1A	-1A
	-7b	-1A	-1A	1A
	4b	1A	-2A	2A

代码如下：

/* *Copyright(c) Computer Science Department of XiaMen University * *Authored by laimingxing on: 2012年 03月 03日 星期六 00:14:35 CST * * @desc: * * @history */ #include #include #include #include using namespace std; const double unbounded = 10000000; const int MAX = 10; int n; double data[MAX][MAX];//A,b,c,v都存储在data里面 void PIVOT( vector &N, vector &B, int l ,int e); void simple( vector &N, vector&B); int main(int argc, char* argv[]) { //将标准行转换为松弛型 //未知数个数 const int nX = 3; //不等式个数 ,第一行为目标函数 const int nEquation = 4; int i = 0, j = 0, k = 0; vectorB,N; double arr[ nEquation + 1 ][nX + 1 ] = { { 2, -3, 3,0},{1, 1, -1, 7}, {-1, -1, 1, -7}, {1, -2, 2, 4} }; //N for( k = 1; k <= nX; k++) N.push_back( k); //B for( ; k < nX + nEquation; k++) B.push_back( k); n = nX + nEquation ; memset( data, 0, sizeof(int) * n * n); //c for( i = 1; i < n; i++) if( i <= nX) data[0][i] = arr[0][i - 1]; else data[0][i] = 0; //A for( i = nX + 1; i < n; i++) { for( j = 1; j <= nX ; j++) { data[i][j] = arr[ i - nX][j -1]; //cout << data[i][j] << "\t"; } } //b for( i = nX + 1; i < n; i++) data[i][0] = arr[ i - nX][nX]; simple( N,B); return 0; } void simple( vector &N, vector&B) { for( int j = 1; j <= n; j++) { if(data[0][j] <= 0) continue; double minBound = unbounded; int minIndex = 0; for( vector::iterator i = B.begin(); i != B.end(); i++) { if( data[*i][j] <= 0)continue; double temp = data[*i][0] / data[*i][j]; if( temp < minBound) { minBound = temp; minIndex = *i; } } if( minBound > unbounded - 1) cout <<"Unbounded" << endl; else PIVOT( N, B, minIndex, j); } for( int i = 1 ; i <= n ; i++) if( find(B.begin(), B.end(),i) != B.end() ) cout << "x"<