Catalan数—求解n个节点能组成的二叉树个数问题

1.catalan简介

  卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）命名。历史上，清代数学家明安图(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。卡塔兰数的一般公式为 C(n,2n)/（n+1）。

2.性质

  令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数数满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) 
//(其中n>=2),这是n阶递推关系;

  还可以化简为1阶递推关系: 如

h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)  (n>1) h(0)=1

  该递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)

  卡塔兰数列的前几项为(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [注： n = 0, 1, 2, 3, … n]
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

3.应用

(1)括号化问题

  矩阵连乘： P=a0×a1×a2×a3×……×an，共有（n+1）项，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

(2)出栈次序问题

  一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

(3)n节点组成二叉树的个数

  可以分析，当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;

  当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。

  当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。

  以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+…+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：

　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

　　另类递归式：

　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

　　该递推关系的解为：

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,…)

(4)类似问题

  有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)