洛谷 P2831 愤怒的小鸟

一看就是道毒瘤题

两位数的数据范围，一看不是暴搜枚举就是状压了
我们考虑状压啦
预处理出$O(n^2)$条抛物线各自串起来哪几只猪，然后位运算暴算一通
先推个抛物线公式
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{x_1}^{2}a+x_{1}b=y_1\\ {x_2}^{2}a+x_{2}b=y_2\end{array}\end{array}$$
$$一顿乱推之后\dots \dots$$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}a=\frac{y_1-\frac{x_1{y}_2}{x_2}}{{x_1}^2-x_1{x}_2}\\ \\ b=\frac{y_1}{x_1}-{x_1}^{2}a\end{array}\end{array}$$

然后挨个算每只猪能不能被串，可以就把这条抛物线一位改为1
还要注意抛物线的$a$不能大于0，要不然你的鸟就上天了
然后就状压DP

#include
#include
using namespace std;
const double eps=1e-8;
inline double abs(const double x)
{return x<0?-x:x;}
inline int min(const int a,const int b)
{return a<b?a:b;}
int f[1<<18];
struct point
{
	double x,y;
}a[19];
int para[510],len;//para[i]:第i条抛物线可以串起来的猪的状压
void reset()
{
	memset(para,0,sizeof(para));
	len=0;
}
void Main()
{
	int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<1<<n;i++)//递推求popcount（二进制下1的个数）
		f[i]=f[i>>1]+(i&1);//最多情况下就一只鸟一只猪呗
	double A,B;//抛物线中的a和b
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		#define x1 a[i].x//为了让代码更好看
		#define y1 a[i].y
		#define x2 a[j].x
		#define y2 a[j].y
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(abs(x1-x2)>eps)//横坐标相同会除以零的
			{
				A=(y1-x1*y2/x2)/(x1*(x1-x2));
				if(A>-eps)continue;//你鸟上天了
				B=(y1-x1*x1*A)/x1;
				len++;
				#define x a[k].x
				#define y a[k].y
				for(int k=1;k<=n;k++)
					if(abs(A*x*x+B*x-y)<=eps)
						para[len]|=1<<k-1;//para
				#undef x
				#undef y
			}
		#undef x1
		#undef y1
		#undef x2
		#undef y2
	}
	for(int i=0;i<1<<n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=len;j++)
			f[i|para[j]]=min(f[i|para[j]],f[i]+1);//多射一次或者用原来的方案
	}
	printf("%d\n",f[(1<<n)-1]);//把n只猪串起来
}
int main()
{
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
		reset(),Main();
	return 0;
}

当然，这不是最优的做法
我们很容易发现，para数组中存的很多线都是重复的，一条有$n$个点的线会出现$\frac{n(n-1)}{2}$次
例如：抛物线$\{i,j,k\}$会以$\{i,j\},\{i,k\},\{j,k\}$的形式出现三次
这就很浪费了
于是我们改进一下：
既然最后要将每个位都填满，那我们不如从左到右填吧？
于是预处理出每个数最低位的0，每次就选取经过最低位0的$O(n)$条抛物线进行转移。
这样复杂度就从$O(2^n{n}^2)$降到了$O(2^{n}n)$

#include
#include
using namespace std;
const double eps=1e-8;
inline double abs(const double x)
{return x<0?-x:x;}
inline int min(const int a,const int b)
{return a<b?a:b;}
int low0[1<<18];
void init()
{
	for(int i=1;i<1<<18;i++)
		low0[i]=i&1?low0[i>>1]+1:0;//递推求最低一个零
}
int f[1<<18];
struct point
{
	double x,y;
}a[19];
int para[19][19],len;
void reset()
{
	memset(para,0,sizeof(para));
	len=0;
}
void Main()
{
	int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<1<<n;i++)
		f[i]=f[i>>1]+(i&1);
	double A,B;
	for(int i=0;i<n;i++)
		scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		#define x1 a[i].x
		#define y1 a[i].y
		#define x2 a[j].x
		#define y2 a[j].y
		for(int j=0;j<i;j++)
			if(abs(x1-x2)>eps)
			{
				A=(y1-x1*y2/x2)/(x1*(x1-x2));
				if(A>-eps)continue;
				B=(y1-x1*x1*A)/x1;
				#define x a[k].x
				#define y a[k].y
				for(int k=0;k<n;k++)
					if(abs(A*x*x+B*x-y)<=eps)
						para[j][i]|=1<<k;
				#undef x
				#undef y
			}
		#undef x1
		#undef y1
		#undef x2
		#undef y2
	}
	for(int i=0;i<1<<n;i++)
	{
		int j=low0[i];//就是这里！一定要经过它！
		for(int k=0;k<n;k++)
			f[i|para[j][k]]=min(f[i|para[j][k]],f[i]+1);
	}
	printf("%d\n",f[(1<<n)-1]);
}
int main()
{
	init();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
		reset(),Main();
	return 0;
}