行向量组线性无关

关于行向量组线性无关，看一道习题。

设A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是(C)

A.ATX=0只有唯一零解
B.ATAX=0必有无穷多组解
C.对任意的b,ATX=b有唯一解
D.对任意的b，AX=b有无穷多组解

分析：A行向量组线性无关，则由 r(A)≤min(4,5),得到r(A)=4 。那么A的转置也是4，且 AT 列向量的个数是4，所以A项正确。

B项只需要注意 r(ATA)=r(A)=4,ATA 列向量的个数是5，基础解系的向量有一个，所以有无穷多组解。

对于C项，无法保证 r(AT)=r(AT|b) ，所以可能无解。

D项是写这篇的原因，整理过一次，关于向量变高变胖的问题。通常考虑列向量的时候，原来无关，变高也无关，变胖时，原来相关，现在也相关。但是切换到行向量的视角时，需要注意这是躺着的向量，变高是左右增长，变胖是上下增长。这里在右边添加向量，属于变高，那么原来无关，现在也无关。 r(A)=r(A|b)=4 ,又因为列向量个数是5个，所以基础解系有一个自由向量，即：有无穷多个解。

非齐次向量方程，紧紧抓住： r(A)=r(A|b) 的判定。