回溯法搜索总结与常见问题

最近在看回溯搜索算法，觉得值得总结一下。

回溯法简单说就是，为了搜到合适的解做出尝试，尝试失败时就退回到之前状态，然后尝试其他的可能性。这类算法套路比较固定。总的思想我概括为：搜到就输出，搜不到就返回，符合条件就搜。

流程用文字描述，大概分为两类情况：

1.当搜索过程每前进一步，会遇到多种情况时：这类情况的代码形式上类似图的深度遍历

void search(int k){
	if (达到目标) 输出解
	else
	    for each(所有可能情况)
		if (满足递归条件){
			保存状态
			search(k+1)
			恢复之前的状态
		}
}

2.当搜索过程每前进一步，只有两种选择时：这类情况的代码形式上类似二叉树的先根遍历

void search(int k){
	if (达到目标) 输出解
	else{
		if(符合选择1条件){
			保存状态和数据
			search(k+1, 参数1）
			恢复
		}
		if(符合选择2条件){
			保存状态和数据
			search(k+1, 参数2）
			恢复
		}
	}	    
}

当然不一定所有问题都严格遵守上面的步骤。比如，有的时候搜索的分支可能并没改变数据（之后有举例），这时保存数据这步是可以没有的。

回溯法的优点在于省内存，搜索过程中产生解空间。由于采用了递归和深度优先的策略，最大耗费空间仅仅和搜索的最大深度有关。

第一个例子，给出n和m，从1到n中挑出m个数，产生所有可能的排列数和组合数，n小于10：

#include 
#include 
using namespace std;

bool used[10]={false};//数字i是否使用过
int num[10];//n,m smaller than 10

int id1=0, id2=0;

vector num2;
bool used2[10]={false};

void p(int n, int r, int k){
    if(k==0){
        id1++;
        cout<=1; i--)cout<>n>>m;
    cout<<"permutation:"<

当然上面的例子是输出所有的排列和组合。大部分时候我们只是搜索特定的一个结果，或某些结果。因此舍弃不必要的解是很重要的。这就涉及限界，或者说剪枝。如果搜索到某一步时再接着搜肯定没有结果，那么就停止在这个分支的搜索，通常用一个限制条件或外加判断函数来判断。

第二个例子，给定一个集合，知道它有n个元素，希望从n个数中取出若干个使得它们的和为c。第一行输入n和c，第二行输入集合内的数。把可行的数字组合（1组就行）输出，如果没有符合条件的组合，就输出NO SOLUTION。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int n,c;
int a[9000];
int r=0, mi[9000],s[9000], l[9000];
//s=sum, mi=min, l=answer list
void work(int x, int z){
    if(z==c){
        for(int i=1; i<=r; i++){
            cout<=c){
            if(z+a[x]<=c){//do1, add a[x], when a[x] can be added
                r++;
                l[r]=a[x];//save

                work(x+1,z+a[x]);//do1

                r--;//back
            }
            work(x+1,z);//do2, not to add a[x]
        }
    }
}
/* 
    x增加时有两个选择，将下一个数挑出，或者不挑出，所以有do1和do2两个选择
*/

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);

    mi[n]=s[n]=a[n];
    for(int i=n-1; i>=1; i--){
        if(a[i]

有的时候在递归过程中一些结果可能会被重复搜索（即：走了不同的路线，但是到达了相同目的地 -_-|| ），我们还可以建立一个表储存搜索过的结果，如果发现搜过这个结果了，就不要继续递归，直接从表里读取，这样能避免大量的重复递归。这个实现起来相对容易，就不再举例了。