HDU 6428 2018HDU多校赛 第十场 Calculate（莫比乌斯反演 + 积性 + 线性筛）

 

 

题意简单粗暴，让你求  。

与gcd有关，一般来说都是要上莫比乌斯来反演一下了。具体来说，我们先来推一些式子：

                                             

那么，原式我们就可以写成：

然后我们再交换一下求和次序：

对于后面这个东西，我们可以发现，对于一个数字x^k，他能够被d整除，当且仅当，其中pi表示d分解质因子的每一个数字，ai表示对应pi的指数。那么我么令，那么最后的答案就是：

                         

我们注意到，是欧拉函数和莫比乌斯函数的迪利克雷卷积，根据定理，积性函数的迪利克雷卷积也是积性函数，因此具有积性。而、和是类似于d分解质因子的形式，显然也是具有积性的，因此我们可以构造线性筛，在O(A)的时间复杂度内解决这道题。所谓积性，就是在互质的时候f(xy)=f(x)*f(y)，关键是要求不互质的时候以及质数本身的表达式。

我们令，根据我们之前的推导：，那么有：

                                                   

于是：                                        

那么:                                   

 

接下来再看这个，这个就是在分解质因子的过程中，记录一个deg，表示当前质因子的指数。每次这个质因子加一，当发现它%k之后是1，说明此时除以k向上取整会变大，于是乘上当前质因子。具体见代码：

#include
#define LL long long
#define mod 998244353
#define pb push_back
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sf(x) scanf("%d",&x)
#define sc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
#define clr(x,n) memset(x,0,sizeof(x[0])*(n+5))
#define file(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)

using namespace std;

const int N = 1e7 + 10;

unsigned int p[N],phmu[N],f2[N],f3[N],last[N],deg[N];
bool isp[N];

void init()
{
    int sz=0;
    phmu[1]=f2[1]=f3[1]=last[N]=1;
    for(int i=2;i1) phmu[x]=phmu[last[i]]*phmu[x/last[i]];
                else
                {
                    if (i>p[j]) phmu[x]=phmu[i]*p[j];
                        else phmu[x]=(p[j]-1)*(p[j]-1);
                }
                f2[x]=f2[i]*(deg[x]%2==1?p[j]:1);
                f3[x]=f3[i]*(deg[x]%3==1?p[j]:1);
                break;
            } else
            {
                deg[x]=1;
                last[x]=i;
                f2[x]=f2[i]*f2[p[j]];
                f3[x]=f3[i]*f3[p[j]];
                phmu[x]=phmu[i]*phmu[p[j]];
            }
        }
    }

}

int main()
{
    init();
    int T; sf(T);
    while(T--)
    {
        int a,b,c;
        sc(a,b,c);
        unsigned int ans=0;
        for(int i=1;i<=a;i++)
            ans=(ans+phmu[i]*(a/i*(b/f2[i])*(c/f3[i])));
        printf("%d\n",ans&((1<<30)-1));
    }
    return 0;
}