树状数组详解

简述

  什么是树状数组呢,顾名思义就是树一样的数组,本质就是用数组模拟树形结构。

  树状数组有什么用呢,树状数组可以实现单点更新,单点查询,区间查询和区间更新,维护的东西和线段树可以类比的,就是满足区间加法性质的属性,例如最值,和,gcd等。

  树状数组可以干的东西线段树也能干,但线段树干的东西树状数组不一定能干。树状数组的复杂度和线段树同级,但常数更低且代码量更为简答,所以我们能用树状数组就用树状数组,这样就不容易TLE了hhh。

lowbit操作

  首先我们来了解一个操作,lowbit(x),这个操作取出x二进制最低位的1,例:lowbit(10100)=100

  代码实现为x&(-x)。

ll lowbit(ll x){
    return x&(-x);
}

  为什么是x&(-x)呢?我们知道对一个数取负就是对这个数取反加一。我们设原数的二进制为xxx1000...,该数取反为yyy0111...,令其加一,我们可以发现,取反加一后的数只有一位是1,且该位置就是原数最低位的1,所以我们令x&(-x)就可以得到x的lowbit了。

树的样子

  对于一般的二叉树,形状是这样的

  树状数组详解_第1张图片

  此时我们令其偏一下身子,使其右倾变为这样

  树状数组详解_第2张图片

  如果每个节点都存东西,那就不叫树状数组叫线段树了,那他们有什么不同呢?我们来看下图:

  树状数组详解_第3张图片

  底下的代表我们输入的a数组,上面的代表我们的树状数组c数组。从空间上来说,树状数组只需要存二叉树的根和左子树就行,因为右子树可以由根减左子树获得,则有:

  •C[1] = A[1];

  C[2] = A[1] + A[2];

  C[3] = A[3];

  C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];

  C[5] = A[5];

  C[6] = A[5] + A[6];

  C[7] = A[7];

  C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

  可以发现,这颗树是有规律的,我们可以发现,C[i]存了从i开始往前数共lowbit(i)个位置的和。

单点更新

  例如我们需要令a[1]+=k,则需要维护c1,c2,c4,c8这些包含a1的节点,我们可以发现这些需要维护的节点是层次关系:c1C[i]存了从i开始往前数共lowbit(i)个位置的和吗,我们只需要加上lowbit(本节点的下标),即可得到本节点的父亲,一直递归到根,就完成了更新。

void update(int x,int val,int n){
    //x位置的值加上val,n为总叶子个数 
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=val;
    } 
}

区间查询

  例如我们需要查询区间3到5的和,其值等于a3+a4+a5,如果我们得到前缀和sum[i],其值就等于sum[5]-sum[2],而树状数组恰恰就是利用了前缀和求出区间和。

  例如我们要求sum(7),那么sum(7)=c[7]+c[6]+c[4],我们可以很容易看出,6是由7-lowbit(7)得到的,4是由6-lowbit(6)得到的,而4减它的lowbit就等于0了。我们可以知道,sum(i)可由每个c位置的贡献求出,每个位置为上个位置减lowbit。为什么可以这样呢,我们来看i=2的幂时,这时c[i]就完全包含1到i这i个元素,无需做任何处理,当i不是2的幂时,需要一个一个处理,直到i消掉低位的1变为2的幂,例如i=7的时候,一开始lowbit(7)=1,也就是说c[7]只维护了一个节点那就是a[7],令其减loewbit,得i=6,此时c6维护了a5和a6两个节点,减去lowbit得i=4,包含1到i所有节点,故加上贡献后结束。

  所以下一个有贡献的位置是当前位减lowbit(当前)。

ll sum(int x){
    ll ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans+=c[i];
    }
    return ans;
} 

模板

#include
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
typedef long long ll;
ll lowbit(ll x){
    return x&(-x);
}
void update(int x,int val,int n){
    
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=val;
    } 
}
ll sum(int x){
    ll ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans+=c[i];
    }
    return ans;
} 
int main()
{
    
    return 0;
}
View Code

 

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