树状数组详解

简述

　　什么是树状数组呢，顾名思义就是树一样的数组，本质就是用数组模拟树形结构。

　　树状数组有什么用呢，树状数组可以实现单点更新，单点查询，区间查询和区间更新，维护的东西和线段树可以类比的，就是满足区间加法性质的属性，例如最值，和，gcd等。

　　树状数组可以干的东西线段树也能干，但线段树干的东西树状数组不一定能干。树状数组的复杂度和线段树同级，但常数更低且代码量更为简答，所以我们能用树状数组就用树状数组，这样就不容易TLE了hhh。

lowbit操作

　　首先我们来了解一个操作，lowbit(x)，这个操作取出x二进制最低位的1，例：lowbit(10100)=100

　　代码实现为x&(-x)。

ll lowbit(ll x){
    return x&(-x);
}

　　为什么是x&(-x)呢？我们知道对一个数取负就是对这个数取反加一。我们设原数的二进制为xxx1000...，该数取反为yyy0111...，令其加一，我们可以发现，取反加一后的数只有一位是1，且该位置就是原数最低位的1，所以我们令x&(-x)就可以得到x的lowbit了。

树的样子

　　对于一般的二叉树，形状是这样的

　　

　　此时我们令其偏一下身子，使其右倾变为这样

　　

　　如果每个节点都存东西，那就不叫树状数组叫线段树了，那他们有什么不同呢？我们来看下图：

　　

　　底下的代表我们输入的a数组，上面的代表我们的树状数组c数组。从空间上来说，树状数组只需要存二叉树的根和左子树就行，因为右子树可以由根减左子树获得，则有：

　　•C[1] = A[1];

　　•C[2] = A[1] + A[2];

　　•C[3] = A[3];

　　•C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];

　　•C[5] = A[5];

　　•C[6] = A[5] + A[6];

　　•C[7] = A[7];

　　•C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

　　可以发现，这颗树是有规律的，我们可以发现，C[i]存了从i开始往前数共lowbit(i)个位置的和。

单点更新

　　例如我们需要令a[1]+=k，则需要维护c1，c2，c4，c8这些包含a1的节点，我们可以发现这些需要维护的节点是层次关系：c1C[i]存了从i开始往前数共lowbit(i)个位置的和吗，我们只需要加上lowbit(本节点的下标)，即可得到本节点的父亲，一直递归到根，就完成了更新。

void update(int x,int val,int n){
    //x位置的值加上val,n为总叶子个数 
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=val;
    } 
}

区间查询

　　例如我们需要查询区间3到5的和，其值等于a3+a4+a5，如果我们得到前缀和sum[i]，其值就等于sum[5]-sum[2]，而树状数组恰恰就是利用了前缀和求出区间和。

　　例如我们要求sum(7)，那么sum(7)=c[7]+c[6]+c[4]，我们可以很容易看出，6是由7-lowbit(7)得到的，4是由6-lowbit(6)得到的，而4减它的lowbit就等于0了。我们可以知道，sum(i)可由每个c位置的贡献求出，每个位置为上个位置减lowbit。为什么可以这样呢，我们来看i=2的幂时，这时c[i]就完全包含1到i这i个元素，无需做任何处理，当i不是2的幂时，需要一个一个处理，直到i消掉低位的1变为2的幂，例如i=7的时候，一开始lowbit(7)=1，也就是说c[7]只维护了一个节点那就是a[7]，令其减loewbit，得i=6，此时c6维护了a5和a6两个节点，减去lowbit得i=4，包含1到i所有节点，故加上贡献后结束。

　　所以下一个有贡献的位置是当前位减lowbit(当前)。

ll sum(int x){
    ll ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans+=c[i];
    }
    return ans;
} 

模板

#include
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
typedef long long ll;
ll lowbit(ll x){
    return x&(-x);
}
void update(int x,int val,int n){
    
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=val;
    } 
}
ll sum(int x){
    ll ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans+=c[i];
    }
    return ans;
} 
int main()
{
    
    return 0;
}

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