【算法笔记】组合数学-浅谈乘法逆元

前言

在 $OI$ 中，大多数情况下，善良的出题人为了避免高精度等大整数计算，常常会要求输出答案对一个数（大多是质数）取模的情况，但这衍生了一个问题：若题目中计算需用到除法而我们知道，如果 $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)$ 在大部分情况下 $\lfloor \frac{a}{d}\rfloor \not\equiv \lfloor \frac{b}{d}\rfloor (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)$ （注意一般题目会默认对一个数取模是数论（整数）意义上的取模，故这里除法为整数除法），这和等式的性质是不同的，要解决这个问题，就需要用到一个概念：乘法逆元。

说明

我们来举个例子吧，先再实数范围举例，由小学知识可知，如果一个代数式 $F$ 乘一个数 $a$ 后，再乘它的倒数 $\frac{1}{a}$ ，相当于没有乘 $a$ （这里不考虑 $0$ 的情况），换句话说，我们乘 $\frac{1}{a}$ 后，取消了代数式 $F$ 乘 $a$ 后值增大的影响。
不难发现这符合逆元的定义，故我们可以说一个数和其倒数互为乘法逆元。除此之外，我们还能发现一个数和其相反数互为加法逆元等等……

接下来回到代数式的例子，考虑为什么 $a$ 的倒数 $\frac{1}{a}$ 能消去乘 $a$ 的影响。显然，是由于乘法结合律的存在，使得我们在运算 $F\times a\times \frac{1}{a}$ 时可以先运算 $a\times \frac{1}{a}$ 的值，再运算它和 $F$ 的乘积，而 $a\times \frac{1}{a}=1$ ，任何数与 $1$ 的乘积均为其本身，从而使乘 $a$ 对 $F$ 值增大的影响取消。

上文在实数范围内讨论了乘法逆元，现在我们来看本文主要讨论的内容，数论模意义下的乘法逆元。

由上文的分析来看，我们可以借助“任何数与 $1$ 的乘积均为其本身”的性质定义模意义下的乘法逆元。

故其定义为：如果说 $a$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元是 $x$ ，那么 $ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

栗子

举个栗子：

$\frac{15}{3}\%7$

在 mod 7 意义下 3的逆元是5

所以 在 mod 7意义下 $(15/3)\%7=(15\ast 5)\%7$

计算逆元

• 然而怎么快速计算逆元呢？
• 费马小定理：当 $p$ 为素数时， $a^{p-1}\equiv 1$ $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 。
  那么 $a\ast a^{p-2}\equiv 1$ $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 。
  再看看，这是不是又是逆元的定义？快速幂求出 $a^{p-2}$ 即可。

解决方法

$\text{预处理阶乘和阶乘逆元法}$

根据计算式得到
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)=fa{c}_m\times inv{f}_n\times inv{f}_{m-n}$$
我们事先预处理阶乘及阶乘逆元，关于预处理阶乘逆元，有

$$inv{f}_i\equiv inv{f}_{i+1}\times (i+1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

证明：

$$fa{c}_i\times inv{f}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$$fa{c}_{i-1}\times i\times inv{f}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

只需要算一个就可以了

复杂度 $O(n+\log p)\sim O(1)$ ， $p$ 为质数

例题1-小y的组合数取模问题

Description

共有 $T$ 组询问，每组询问给出一对 $n,m$，求 $C_n^m$，为了不让大家用到高精度，答案对 $100000007$ 取模。

Input

第一行一个数 $T$，接下来 $T$ 行每行两个数 $n,m$，意义如题面所述。

Output

$T$ 行每行一个数表示答案。

Data

对于 $10$ 的数据，$1\le n,m\le 51\le n,m\le 5$。

对于 $30$ 的数据，$1\le n,m\le 1001\le n,m\le 100$。

对于 $60$ 的数据，$1\le n,m\le 1000$。

对于 $100$ 的数据，$1\le x<y\le 2n$， $1\le n,m\le 105$。

Solution

• 首先这道题显然 要用逆元？【大雾】
• 就是一个逆元的板子？

Code

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL p=100000007,N=1000010,maxn=1000010;
LL fac[maxn],Inv[maxn];
LL Mul(LL x,LL y) { return 1LL*x*y%p; }
LL Fast_Exponentiation(int x,int y)
{
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=Mul(x,x))
	 if (y&1) ans=Mul(ans,x);
	return ans;
}
void before()
{
	fac[0]=Inv[0]=1;
	for (int i=1;i<=N;i++) fac[i]=Mul(fac[i-1],i);  //计算阶乘
	Inv[N]=Fast_Exponentiation(fac[N],p-2);  //根据费马小定理，N的阶乘的p-2次方就是它的逆元
	for (int i=N-1;i>=1;i--) Inv[i]=Mul(Inv[i+1],i+1);  //根据上文的公式，公式中的i-1现在是i，那么公式中的i现在就是i+1了
}
void work()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	for (int i=1;i<=T;i++)
	{
		LL n,m;
		scanf("%lld %lld",&n,&m);
		if (n<m) printf("0\n");
		else printf("%lld\n",Mul(fac[n],Mul(Inv[m],Inv[n-m])));  //得出m的阶乘的逆元和（n-m）的阶乘的逆元，x/m!/(n-m)!=n*Inv[m]*Inv[n-m]
	}
}
void init()
{
	freopen("math.in","r",stdin);
	freopen("math.out","w",stdout);
}
int main()
{
	init();
	before();
	work();
	return 0;
}

例题2-乘法序列

Description

给定整数 $N$ 和 $M$，请找出有多少个不同的序列 $a_1\times a_2\times \cdots \times a_N=M$
你只需要输出答案 对 $10^9+7$ 取余即可。

两个不同的序列指的是按顺序只要有一个元素不同即可。具体看样例解释。

Input

两个整数 $N$ 和 $M$

Output

一个整数表示答案，注意取余

Data

$1\le N\le 10^5,1\le M\le 10^9$

Solution

• 这道题需要一定的思维转化，首先是分解质因数，要记录每个质因子的个数$c[i]$
• 对于每个质因子都有$c[i]$个，我们要把 $c[i]$ 分成 $n$ 组，相当于分到 $n$ 个盒子里，因为根据题意，盒子可以为空，所以答案为 $C_{n+c[i]-1}^{n-1}$
• 而且题目是分步做，所以开一个 $for$ 循环 $ans$ 相乘就可以了

Code

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL Mod=1e9+7,N=200000,maxn=200010;
LL ans=1,t=0;
LL fac[maxn],Inv[maxn],p[maxn],c[maxn];
LL Mul(LL x,LL y) { return 1LL*x*y%Mod; }
LL C(LL n,LL m)
{
	return Mul(fac[n],Mul(Inv[m],Inv[n-m]));
}
LL Fast_Exponentiation(int x,int y)
{
	LL ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=Mul(x,x))
	 if (y&1) ans=Mul(ans,x);
	return ans;
}
void before()
{
	fac[0]=Inv[0]=1;
	for (int i=1;i<=N;i++) fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
	Inv[N]=Fast_Exponentiation(fac[N],Mod-2);
	for (int i=N-1;i>=1;i--) Inv[i]=Mul(Inv[i+1],i+1);
}
void divide(int n)
{
	for (int i=2;i<=sqrt(n)+1;i++)
	{
		if (n%i==0)
	 	{
	 		p[++t]=i,c[t]=0;
	 		while ( n%i == 0) n= n/ i,c[t]++;
		}
	}
	if (n>1)
	{
		p[++t]=n,c[t]=1;
	}
}
int main()
{
	freopen("factor.in","r",stdin);
	freopen("factor.out","w",stdout);
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	
	divide(m);  //分解质因数
	
	before();  //预处理

	for (int i=1;i<=t;i++)
	{
		ans=Mul(ans,C(n+c[i]-1,n-1));  //上文已经提到了
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

尾声

这篇文章还是极短的，很多引用了老师的课件？ 仅以此写一些自己的心得与体会，此后还会有更新，但前提是蒟蒻得学更多新的知识QAQ