威尔逊定理 数论

最近在整理原来的一些资料,偶然想起原来搞OI时讲过一次威尔逊定理的内容,这里分享给大家

 

目录

一个实验

证明

剩余类与剩余系

缩系

证明

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数论四大定理之一

※是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的,尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理,1773年由拉格朗日首次证明

※威尔逊定理是判定一个自然数是否为素数的充分必要条件

 

 

一个实验

十八世纪中叶,一位英国法官约翰·威尔逊爵士,发现了数论中一种极为罕见的关系:取从1到某个质数所有连续正整数的乘积,例如从1乘到11,即11的阶乘11!。显然,11!能被从111的所有整数整除,除去11这个数,得10!。无疑10!不能被11整除。

然而,如果给10!加上1的话,1×2×3×4×5×6×7×8×9×1013628801,怎么也不会想到,3628801却能被11整除(3628801÷11329891)。类似地,从1到质数7的阶乘7!中略去7,再加上1,得1×2×3×4×5×61721721也能被7整除(721÷7103

 
11 7 都是质数,研究发现,此种整除性对一切质数都成立,但对合数却不成立。下面的表格展示了这一规律:

n

(n-1)!

(n-1)!+1

[(n-1)!+1] mod n

数性

2

1

2

0

质数

3

2

3

0

质数

4

6

7

3

合数

5

24

25

0

质数

6

120

121

1

合数

7

720

721

0

质数

8

5040

5041

1

合数

9

40320

40321

1

合数

10

362880

362881

1

合数

11

3628800

3628801

0

质数

12

39916800

39916801

1

合数

13

479001600

479001601

0

质数

14

6227020800

6227020801

1

合数

15

87178291200

87178291201

1

合数

 

把上面所说的加以推广,就得到 威尔逊定理:

p为质数时,(p-1)!+1能被p整除。

威尔逊定理逆定理:
若一个数 (p-1)!+1 能被 p 整除,那么 p 为质数

 

证明

剩余类与剩余系

我们考虑对一类数的分类规则

     ①.以除以2的余数为标准,整数可以分为两类:余数为0和余数为1

     ②.以除以3的余数为标准,整数可以分为三类:余数为0、余数为1、余数为2

 

依此推理,以除以m的余数为标准,整数可以分为m类:余数为0、余数为1、余数为2...余数为m-1

性质:每类中的数模m同余,即任取同类中数a,b,均有ab(mod m)

 

 

定义:记[i]={j | ji(mod m)},[i]Z,通俗来讲,就是所有mod m 等于i的数

[i]=[i+m]=[i-m]=[i+km],[i]称为模m的一个剩余类

 

性质:模m的剩余类恰好有m个: [0],[1],[2]...[m-1]

 

定义:

从模m的剩余类[0]中取一个元素a0[1]中取一个元素a1 . . . [m-1]中取一个元素am-1 ,得到m个数

                            a0 a1 . . . am-1

这样的m个数称为模m的一个完全剩余系

 

性质:

m个数对m作带余除法得到的余数恰好是0,1...m-1

m个数两两对m取模不同余

 

给出模5的一个完全剩余系

5的剩余类是[0],[1],[2],[3],[4],我们从每个集合中选取一个元素,可以是:

                                         0,1,2,3,4

上面那个完全剩余系称为模5的最小非负剩余系

 

当然也可以是:

                                         5,1,2,3,4

这个被称为模5的最小正剩余系

 

缩系

通过大量的实践发现:

在模m的一个剩余类中,若有一个数与m互素,则该剩余类中每个数都与m互素,称此剩余系与m互素。φ(m)m的欧拉函数,函数的值为对于正整数m,小于或等于m的数中与m互质的数的数目。

在模m的完全剩余系中,有φ(m)个数是与m互素的,称这φ(m)个数构成模m的一个缩系

模7的缩系为:{1,2,3,4,5,6} φ(7)=6

8的缩系为:{1,3,5,7} φ(8)=4

 

性质:若

是模m的缩系,则

也为模m的缩系(gcd(a,m)=1

 

证明

回顾威尔逊定理:当p为质数时,(p-1)!+1能被p整除

p=2时,威尔逊定理显然成立

p>=3时,若p为素数,取集合A={2,3,...,p-2},由定义得知,则该集合Ap的一个缩系,在此时有性质:对于任意iA,存在jA,使得i*j1(mod p)

这里搬运一个当时找到的该性质证明供参考:

威尔逊定理 数论_第1张图片

补充说明一下:上述不定方程:ij+pk=1中的j不可能为p的整数倍mp。简证之:假设j=mp,则有i(mp)+pk=1,即(im+k)p=1,而素数p>=2,im+k为整数,所以方程不成立。所以,ij+pk=1中的j不可能为p的整数倍mp

 

将元素1p-1单独考虑,发现1×(p-1)(p-1) mod p

而p为素数,除了2为偶素数外,其余均为奇素数,那么p-3p>=3意义下一定为偶数,则集合A能满足两两配对使得

 i*j1(mod p)

即:

故定理得证

 

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题解:

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