数学传奇1——群星闪耀时

1736年，时年29岁的莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）向圣彼得堡科学院递交了题为《哥尼斯堡之七桥》的著名论文，长期悬而未决的哥尼斯堡七桥问题被彻底破解，该篇论文也被认为是标志图论创立的代表性文献。

同年，在遥远的亚平宁半岛上，约瑟夫-路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）呱呱坠地。拉格朗日的曾祖父是一名法国军官，后移居至意大利都灵，与当地人结婚后诞下了拉格朗日的祖父。拉格朗日的父亲曾经负责掌管国王军队的金库，并在都灵的公共工程建设机构担任税务官。

拉格朗日本应过上优裕、富足的童年生活，无奈他的父亲却在经商过程中，不幸破产，致使家道中落。像其他望子成龙的父亲一样，拉格朗日的父亲一心想把自己的儿子培养成为一名律师，但拉格朗日本人却对法律毫无兴趣。事实上，在都灵大学就读时，拉格朗日最初对数学也不感兴趣，他觉得几何学非常无聊，反而对古典拉丁文颇有兴趣。直到17岁时，他读到了英国天文学家、数学家哈雷的介绍牛顿微积分的文章后，才逐渐迷上了数学。

拉格朗日早年的数学研究到底师承何方，至今成谜。或许也只有这样，才能符合一名旷世奇才理应无师自通这样的假设。现在唯一确定的是，1755年，拉格朗日曾经给已经功成名就的欧拉写信讨论数学问题，彼时拉格朗日只有19岁。

在给欧拉的信中，拉格朗日发展了欧拉所开创的变分法，用纯分析的方法求变分极值。欧拉在回信中对拉格朗日的成果大加称赞。这使拉格朗日在都灵声名大振，并让他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授。欧拉和拉格朗日两人共同奠定了变分法的理论基础，相关成果后来被称为欧拉-拉格朗日方程，这也标志着变分法的创立。

1756年，欧拉向时任普鲁士科学院院长的皮埃尔·莫佩尔蒂（Pierre Louis Maupertuis）推荐了拉格朗日。莫佩尔蒂看到拉格朗日才华非凡，便有意延揽他来柏林任讲座教授。然而，拉格朗日彼时尚无此等想法，遂婉言谢绝。作为一种替代方案，他在这一年被任命为普鲁士科学院通讯院士。

1763年，在巴黎游历期间，拉格朗日首次见到了达朗贝尔，这位前辈对拉格朗日也是青睐有加。两年后，达朗贝尔在给普鲁士国王腓特烈大帝的信中热情地赞扬拉格朗日，并建议在柏林给拉格朗日安排一个荣誉职位。腓特烈大帝欣然应允，他认为在“欧洲最伟大之王”的宫廷中理应有“欧洲最伟大的数学家”。但拉格朗日出于对欧拉的尊敬，不愿与其争辉而再次婉拒。闻听此事的欧拉毫不犹豫地展现了其豁达平易和高风亮节的一面，于次年主动离开柏林，远赴圣彼得堡。

1766年3月，达朗贝尔给欧拉写信说明情况，拉格朗日为欧拉的有意成全深深感动遂同意了前往柏林的邀约。5月3日欧拉离开柏林后，拉格朗日正式接受普鲁士邀请，并于8月21日离开都灵。在柏林期间，拉格朗日深受腓特烈大帝赏识。腓特烈大帝还多次向拉格朗日传授健康规律之生活的益处。拉格朗日深深地认可国王的建议，并在自己日后的研究和生活中努力践行这一金玉良言。健康规律的生活也间接提升了拉格朗日的工作效率，在柏林期间，他完成了大量重要的研究成果，为一生研究中的鼎盛时期，其中多数论文都发表在柏林科学院和巴黎科学院的刊物中。

1786年，与拉格朗日交好的腓特烈大帝去世，一向重情重义的拉格朗日难免触景伤情，越发想离开柏林这块伤心地。于是，在第二年，他决定接受巴黎科学院的邀请，动身前往法国开始工作，并于7月底到达巴黎。只可惜，他的伯乐达朗贝尔已于三年前辞世，二人无缘共事。同样在1783这一年，拉格朗日终生敬爱的另外一位伯乐与导师，欧拉也永远地离开了他。更为巧合的是，就在同一年，拉格朗日的第一任妻子也因久病不愈而撒手人寰。

由于生命中的亲人、导师、伯乐和挚友在短短的两三年内接连离世，拉格朗日陷入了一段时期的低谷之中。直到1789年，法国大革命爆发，才将他从忧郁和低沉中摇醒。但尽管窗外风雨变幻，局势急转直下，拉格朗日似乎也并无心于此，他只是选择静静地旁观。即便如此，革命的烽火还是险些波及到他。1793年，革命政府决定以生于敌国为由逮捕拉格朗日，在化学家拉瓦锡的竭力保护之下，他才逃过一劫。但是，在那样一个政治动荡的风潮里，又有几个人能够完全置身世外，全身而退？

厄运很快就降临到了拉瓦锡自己身上，而这个祸根早在十年之前就已经埋下。彼时，青年科学家马拉向法兰西科学院提交了一篇关于新燃烧理论的论文，希望可以加入科学院，但作为燃烧理论权威的拉瓦锡对这篇论文评价却很低，导致马拉未能得偿所愿。法国大革命爆发后，雅克宾派掌权，已经成为雅克宾派领导人的马拉似乎对当年的事情仍然耿耿于怀。他在一本抨击旧制度下税务官的小册子中，专门指责曾经担任过税务官的拉瓦锡为了盘剥百姓，而向烟草上洒水增加重量。但事实是拉瓦锡是为了防止烟草干燥才要求洒水，并且在洒水之前要称重，所有交易以干重为标准。但在有意的煽动之下，这本小册子的攻击使得民众对税务官的仇恨旋即达到了顶峰。1794年拉瓦锡被捕，5月8日被定罪，而且就在当天便同其他27名税务官一起被送上了断头台。在得知他的死讯之后，拉格朗日惋惜道：“他们只一瞬间就砍下了这颗头，但再过一百年也找不到像他那样杰出的脑袋了。”法国大革命结束后，拉瓦锡很快就被平冤昭雪，重新认定为无罪，但一切都为时已晚，这位被后世尊称为“近代化学之父”的伟大科学家已经永远地停止了思考。

就在拉瓦锡去世的同一年，巴黎成立了两个共和国最高学府：巴黎高等师范学院和巴黎综合理工大学；第二年，拉格朗日开始于此两所高校任教，成为首批教授。小他十三岁的拉普拉斯也曾在这两所学校任教。二人先后培养出了多位杰出的数学家，其中就包括著名的傅立叶、泊松和柯西。也是在这一年，拉格朗日组织建立了法国最高学术机构——法兰西学院（Institute of France），并被推选为科学院数理委员会的主席。

1799年11月，政治强人拿破仑通过雾月政变登上历史舞台，成为法兰西第一共和国执政官，从而开启了属于自己的大时代。拿破仑的上台，结束了大革命以来各种恐怖局面轮番交替的形势。五年之后的1804年，拿破仑称帝，并建立法兰西第一帝国。军人出身的拿破仑，在主政时期，非常注重科学研究，尊重科学家。他认为：“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。数学的发展和至善与国家繁荣昌盛密切相关。”彼时拿破仑与法国的多位数学大师都过从密切、相交甚笃。例如，他曾拜拉普拉斯为师，向其求教，还任命他为自己的内政部长。在更早的1798年，拿破仑远征埃及时，跟随其左右的傅立叶就曾因在军中表现突出而受到这位政治新星的赏识。在拿破仑掌权之后，他便任命傅立叶为格伦诺布尔省省长。就在拿破仑被迫退位的前一年，他以法国皇帝的身份授予拉格朗日帝国大十字勋章，但此时这位数学大师已卧床不起。就在八天之后，1813年4月11日早晨，一代数学巨星拉格朗日与世长辞。

拉格朗日一生成果丰硕，在数学、物理和天文等领域都做出了很多重大贡献。除了与欧拉共同奠定了变分法的基础之外，我们熟知的拉格朗日中值定理、拉格朗日乘数法等都源于他的工作。拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。

尽管这一时期法国历史风云巨变，但拉格朗日在政治上的表现却相当低调和沉郁。与此形成鲜明对比的是，他的同事、数学家和天文学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749~1827）却完全是另外一种风格。拉普拉斯不仅是数学上的大师，而且在政治上也左右逢源，无论谁上台，他都能始终屹立不倒。正如前面所说的，拉普拉斯不仅担任过拿破仑的老师，并在其主政时期，当过六个星期的内政部长，后来还成为元老院的掌玺大臣。拉普拉斯在政治上的摇摆使其饱受非议，即使在席卷法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，也都没有使拉普拉斯受到显著影响。他甚至还在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两度获颁爵位。有时人们认为拉普拉斯在政治态度方面见风使舵的能力使得他在政治上得益并不太值得钦佩，但不可否认他崇高的学术威望以及他将数学应用于军事问题的才能也在动荡的政治中保护了他。拉普拉斯曾分别在巴黎综合理工学院和高等师范学校任教，他还于1785年当选法国科学院院士，1789年又当选英国皇家科学院院士。拉普拉斯在天文学和数学上的造诣极深，素有法国的牛顿之称。现在信号处理中普遍使用的拉普拉斯算子以及拉普拉斯变换都源于他的研究。

法国著名数学家、物理学家约瑟夫·傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768~1830）无疑是拉格朗日众多的学生中的一个杰出代表。现代数字信号处理中常用的傅立叶变换就是由他的研究成果发展而来的。傅立叶是一个孤儿，九岁时父母双亡，于是被当地教堂收养。但傅立叶从小天资过人，后来还考上了著名的巴黎高等师范学校，成为这座名校的首批毕业生，毕业后曾一度在军队中教授数学。1795年他回到母校巴黎高等师范学校教书，之后又被聘为巴黎综合理工学院教授。四年之后，他随拿破仑军队远征埃及，由此受到器重，后又被任命为格伦诺布尔省省长，开始在政治上崭露头角。

1817年傅立叶被提名为法国科学院（French Academy of Sciences）院士，但是他的从政经历阻碍了他的当选。1822年起，他开始担任法兰西学院（Institute of France）终身秘书。同年，傅立叶完成了他最重要的传世著作——《热传导的解析理论》。这本经典文献记述了他在研究热的传播时所创立的一套数学理论，也就是今日被称为“傅立叶分析”的重要数学方法。傅立叶的成就使人们从解析函数或强光滑的函数中解放了出来。傅立叶分析方法不仅放宽了光滑性的限制，还可以保证整体的逼近效果。鉴于傅立叶的一系列重大成果，1827年，他被选为法国科学院院士。

西莫恩·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson，1781~1840）是与傅立叶同一时代的法国数学家、物理学家。著名的泊松方程、泊松分布等皆因其而得名。1798年，泊松以当年第一名成绩进入巴黎综合理工学院，并受到当时在该校任教的大数学家拉格朗日的指导。拉格朗日很早就认识到泊松的才华，二人也因此一直保持着亦师亦友的关系。泊松在1802年成为综合理工学院的代课教授，并于四年后接替傅立叶成为正教授，因为拿破仑把后者派去格勒诺布尔担任省长一职。

泊松擅长用数学的方法研究各类物理问题，并由此得到数学上的发现，因此对数学和物理学都做出了杰出贡献。说到这里就不得不提及一件物理学史上的趣事，也就是关于泊松亮斑发现的轶事。尽管这个物理学名词是以泊松的名字命名的，但泊松最初提出这个概念却是为了证明相关理论是多么的荒谬可笑。在经典物理学时期，关于光的本质有两种针锋相对的观点，即波动论和粒子论，这个争论直到很久以后才被爱因斯坦的波粒二象性所统一。泊松是坚定的粒子论者，他对光的波动说很不屑。为了推翻光的波动说，泊松用很严谨的数学方法计算得出的结论——“假如光是一种波，那么光在照到一个尺寸适当的圆盘时，其后面的阴影中心会出现一个亮斑”。这在当时看来是一个完全不可能的结论，影子的中心应该是最暗的，如果光是波动的反而成了最亮的地方了。泊松自认为这个结论完全可以推翻光的波动说，然而物理学家菲涅尔的试验却使泊松大跌眼镜。菲涅耳试验证明在阴影的中心就是有一个亮斑。泊松本来是希望借此推翻光的波动说，结果反而又一次证明了光的波动性。由于圆盘衍射中的那个亮斑是由泊松最早证明计算出来的，所以现在人们都称之为“泊松亮斑”。

泊松一生共发表过300多篇论文，内容涉及积分理论、行星运动理论、热物理、位势理论和概率论等诸多领域。鉴于泊松举世公认的杰出成就，1812年，他当选为法兰西学院院士（member of the Institute of France）。泊松一生挚爱数学研究与教学工作。他有一句非常有名的话：“人生只有两件事最愉快，研究数学与讲授数学”。米歇尔·沙勒（Michel Chasles）、约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）、狄利克雷（Gustav Lejeune Dirichlet）都曾经是泊松的学生。

奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789~1857）法国著名数学家。数学中的很多定理和公式都以他的名字来称呼，例如我们熟知的柯西不等式、柯西中值定理，以及柯西收敛定理等等。柯西的父亲曾与当时法国的大数学家拉格朗日与拉普拉斯交往密切。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。拉格朗日还建议他的父亲在他学好文科前不要学数学，其父因此加强了对柯西的文学教养，使他在诗歌方面也表现出很高的才华。

柯西曾在巴黎综合理工学院学习，后来又在此任教。不过在专门从事数学研究之前，柯西曾是一位交通道路工程师。但由于身体欠佳，便接受了拉格朗日和拉普拉斯的劝告，转而致力于纯数学研究。柯西在纯数学和应用数学上的功力相当深厚，而在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，柯西一生大约写了八百篇论文，柯西全集有27卷之多。不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子高斯恰恰相反。柯西的卓越贡献之一就是与魏尔斯特拉斯一同开展了数学分析的严谨化工作，从而为后续数学分析的发展奠定了基础。但作为久负盛名的科学泰斗，柯西落落寡合，也因此常常忽视青年学者的创造。其中最令人扼腕的是，十九世纪两大青年数学天才阿贝尔与伽罗瓦的开创性的论文手稿均因柯西而“失落”，造成群论晚问世约半个世纪。

尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）和埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）并称为现代群论的创始人，而两个本来前途无量的年轻人，却都英年早逝，也常使后人唏嘘不已。

1811年伽罗瓦出生在法国的一个知识分子家庭。17岁和18岁时，伽罗瓦曾连续两次报考法国巴黎综合理工学院，但均遭落榜。特别是第二次报考期间他还赶上父亲自杀身亡这样沉重的人生打击。

在1829年，伽罗瓦将他在代数方程解方面的研究成果呈交给了法国科学院，由柯西负责审阅，柯西却将文章连同摘要都弄丢了。后来，伽罗瓦进入法国巴黎高等师范学校学习，并再次将方程式论的结果，写成三篇论文，争取当年科学院的数学大奖，但是文章在送到傅立叶手中后，却因傅立叶过世又遭蒙尘。

1830年，法国爆发了“七月革命”，也就是名画《自由引导人民》所描绘的历史时期。从1831到1832年，伽罗瓦因为热情参与政治活动而两次被捕入狱。后来学校决定将其开除。在被巴黎高等师范学校开除后，伽罗瓦又回归到他的数学研究，但是他仍然继续参与政治活动。

伽罗瓦接受泊松的建议将方程式理论的成果于1831年1月17日提交。大约在1831年7月初，泊松表示看不懂伽罗瓦的论文，但是在拒绝录用报告的末尾，泊松仍然鼓励伽罗瓦完善文章以使得文章内容可以被更加清楚和完整的表述。

伽罗瓦在当年的7月14日第二次被捕。尽管泊松的审稿意见是在伽罗瓦入狱之前做出的，但当他收到审稿意见时已经是身陷囹圄了。后来，伽罗瓦决定不再向科学院投稿，转而寻求私人出版的方式来发表自己的研究成果。但是他并没有忽视泊松给出的审稿意见。伽罗瓦开始在狱中完善自己的手稿并不断雕琢自己的想法直到其1832年4月29日被释放。

伽罗瓦出狱不久便卷入了一场决斗。而他的死因至今成迷，有说是因为卷入了感情纠纷，也有人猜测是出于政治上原因。自知必死无疑的伽罗瓦在决斗前夜将他的所有数学成果狂笔疾书纪录下来，并时不时在一旁写下“我没有时间”这样的话语，第二天他果然在决斗中身亡，年仅21岁。一代天才英年早逝，不禁让人扼腕。伽罗瓦的朋友遵照其遗愿，将他的数学论文寄给高斯与雅各比，但是都石沉大海。

一直到1843年，泊松的学生约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）在阅读伽罗瓦的手稿时才首先领悟到其中蕴含的天才般的想法。从1843到1846年，刘维尔对伽罗瓦的手稿进行了彻底的研究，在充分肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃的同时，他还极力将其介绍给整个数学界。刘维尔整理了伽罗瓦的部分遗稿并刊登在他主办的《纯粹与应用数学杂志》上。他不仅自己亲自为伽罗瓦的著作撰写导言，还邀请学术圈内的一些朋友，参加关于伽罗瓦工作的系列演讲，使伽罗瓦在代数方面的独创性工作得以为世人所知。因此可以说，刘维尔间接地推动了近世代数学和群论的发展。

伽罗瓦的一生才华横溢，无奈天妒英才。但令后人感佩的是，在各种磨难和波折下，在如此短暂而有限的生命里，他仍然不忘数学研究，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，后人们称之为伽罗瓦群和伽罗瓦理论。

十八世纪下半叶至十九世纪末无疑是法国历史动荡变幻，社会政治风起云涌的剧烈变革时代，法国大革命、拿破仑称帝、波旁王朝覆灭、巴黎公社运动都发生在这一时期。而这一时期同时也是法国大师辈出，科学技术突飞猛进的时代。

在十九世纪即将结束的1889年，埃菲尔铁塔在巴黎战神广场落成。作为巴黎的地标性建筑，该塔由著名建筑师、结构工程师古斯塔夫·埃菲尔设计并主持建造。埃菲尔铁塔上还镌刻了72个十八至十九世纪的法国科学家、工程师及其他知名人士的名字，设计师以这种方式纪念他们为推动人类文明和进步所做出的巨大贡献。前面提到的拉普拉斯、拉格朗日、柯西、泊松和傅立叶均在此列。除此之外，还有包括像库伦、安培、拉瓦锡等耳熟能详的科学巨匠。

法国数学大爆发的十八至十九世纪，很难想象在那个短暂的时间和有限的空间中，居然汇集了如此之多的数学大师。这其中的每个人放到任何国家无疑都是引领整个时代的学术巨擘。但历史的巧合让他们如此戏剧化的聚合到了一起，恰似那群星闪耀的时刻，并由此也奠定了法国在数学领域的强大地位。

自拉格朗日以降，法国数学的影响随着一代代门徒薪火相传而深远地扩散，至今不绝。泊松的学生米歇尔·沙勒是让·加斯东·达布（Jean Gaston Darboux）的老师。达布的两个学生古萨（Édouard Goursat）和埃米尔·皮卡（Émile Picard）又是雅克·阿达马（Jacques Hadamard）的老师。信号处理中的沃尔什-阿达马变换即源自阿达马的研究。阿达马的学生保罗·列维（Paul Lévy）在证明概率论里的中央极限定理过程中给出了著名的林德贝格-列维中央极限定理。列维的学生迈克尔·鲁文（Michel Loève）提出了著名的KL变换，它的另外一个名字就是我们在降维与流形学习中讨论的主成分分析（PCA）。鲁文的学生里奥·布瑞曼（Leo Breiman）则是著名的CART算法以及随机森林的发明人。此外，他之于机器学习（特别是其中的集成学习领域）的重要贡献还包括Bagging以及关于Boosting的理论探索。

 

拉格朗日之不才传人 谨记。

笔者博士生导师的博士生导师的博士生导师的... ...的博士生导师正是拉格朗日，参考（点击链接）【拉格朗日的学术传承】。